第 2 课时 空间向量与垂直关系学 习 目 标核 心 素 养1.能利用平面法向量证明线面和面面垂直．(重点)2．能利用直线的方向向量和平面的法向量判定并证明空间中的垂直关系．(重点、难点) 借助空间向量证明线面垂直和面面垂直的学习，提升学生的数学运算和逻辑推理核心素养.因为方向向量和法向量可以确定直线和平面的位置，那么我们就可以利用空间直线的方向向量和平面的法向量表示空间直线：平面间的平行和垂直问题．上节课我们研究了平行问题，下面我们来研究一下垂直问题．1．空间中有关垂直的向量关系一般地，直线与直线垂直，就是两直线的方向向量垂直；直线与平面垂直，就是直线的方向向量与平面的法向量平行；平面与平面垂直，就是两平面的法向量垂直．2．空间中垂直关系的向量表示线线垂直设直线 l1的方向向量为 u＝(a1，a2，a3)，直线 l2的方向向量为 v＝(b1，b2，b3)，则 l1⊥l2⇔u · v ＝ 0 ⇔a1b1＋ a 2b2＋ a 3b3＝ 0 线面垂直设直线 l 的方向向量是 u＝(a1，b1，c1)，平面 α 的法向量是 n＝(a2，b2，c2)，则 l⊥α⇔u ∥ n ⇔u ＝ λ n ⇔( a 1， b 1， c 1) ＝ λ( a 2， b 2， c 2)(λ∈R)面面垂直设平面 α 的法向量 n1＝(a1，b1，c1)，平面 β 的法向量 n2＝(a2，b2，c2)，则 α⊥β ⇔ n 1⊥ n 2 ⇔n1·n2＝ 0 ⇔a1a2＋ b 1b2＋ c 1c2＝ 0 思考：若一个平面内一条直线的方向向量与另一个平面的法向量共线，则这两个平面是否垂直？[提示] 垂直．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)同一个平面的法向量均为共线向量．( )(2)若 a，b 是平面 α 内的向量，且 n·a＝0，n·b＝0，那么 n 可以作为平面 α 的一个法向量．( )(3)若点 A、B 是平面 α 上的任意两点，n 是平面 α 的法向量，则AB·n＝0.( )[提示] (1)√ (2)× (3)√2．设直线 l 的方向向量 u＝(－2,2，t)，平面 α 的一个法向量 v＝(6，－6,12)，若直线 l⊥平面 α，则实数 t 等于( )A．4 B．－4C．2 D．－2B [因为直线 l⊥平面 α，所以 u∥v，则＝＝，解得 t＝－4，故选 B.]3．若直线 l1的方向向量为 u1＝(1,3,2)，直线 l2上有两点 A(1,0，1)，B(2，－1,2)，则两直线的位置关系是______．l1⊥l2 [AB＝(1，－1,1)，u1·AB＝1×1－3×1＋2×1＝0，因此 l1⊥l2.]4．若平面 α，β 的法向量分别为 a＝(2，－1,0)，b＝(－1，－2...
