高中数学 第4章 数列章末综合提升学案（含解析）新人教A版选择性必修第二册-新人教A版高二第二册数学学案

数列[巩固层·知识整合][提升层·题型探究]求数列的通项公式【例 1】 (1)已知等比数列{an}为递增数列，且 a＝a10，2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列的通项公式 an＝( )A．2n B．2n＋1 C． D．(2)已知数列{an}中，an＋1＝3an＋4，且 a1＝1，求通项公式．(1)A [法一：由数列{an}为递增的等比数列，可知公比 q＞0，而 a＝a10＞0，所以 q＞1，an＞0.由 2(an＋an＋2)＝5an＋1，得 2an＋2anq2＝5anq，则 2q2－5q＋2＝0，解得 q＝2 或 q＝(舍去)．由 a＝a10，得(a1q4)2＝a1q9，解得 a1＝2.因此 an＝2n.法二：由等比数列{an}为递增数列知，公比 q＞0，而 a＝a10＞0，所以 an＞0，q＞1.由条件得 2＝5，即 2＝5，解得 q＝2.又由 a＝a10，得(a1q4)2＝a1q9，即 a1＝q＝2，故 an＝2n.](2)[解] 法一：由题意得 an＝3an－1＋4＝3(3an－2＋4)＋4＝32an－2＋3×4＋4＝33an－3＋32×4＋3×4＋4＝…＝3n－1a1＋3n－2×4＋3n－3×4＋…＋3×4＋4＝3n－1＋＝3n－1＋2(3n－1－1)＝3n－2.法二： an＋1＝3an＋4，∴an＋1＋2＝3(an＋2)．令 bn＝an＋2， b1＝a1＋2＝3，∴数列{bn}是首项为 3，公比为 3 的等比数列，则 bn＝3n，∴an＝3n－2.法三： an＋1＝3an＋4，①∴an＝3an－1＋4(n≥2)．②①－②，得 an＋1－an＝3(an－an－1)(n≥2)． a2－a1＝3＋4－1＝6，∴数列{an＋1－an}是首项为 6，公比为 3 的等比数列，即 an＋1－an＝6×3n－1＝2×3n，利用累加法得 an＝3n－2.数列通项公式的求法1 定义法,直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适用于已知数列类型的题目.2 已知 Sn求 an.若已知数列的前 n 项和 Sn与 an的关系，求数列{an}的通项 an可用公式 an＝求解.3 累加或累乘法,形如 an－an－1＝fnn≥2的递推式，可用累加法求通项公式；形如＝fnn≥2的递推式，可用累乘法求通项公式.4 构造法,如 an＋1＝Aan＋B 可构造{an＋n}为等比数列，再求解得通项公式.[跟进训练]1．已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝2n－an，求数列的通项公式 an.[解] 由 a1＝S1＝2－a1，得 a1＝1.当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2n－an－[2(n－1)－an－1]＝－an＋2＋an－1，所以 an＝an－1＋1，即 an－2＝(an－1－2)．令 bn＝an－2，则 bn＝bn－1，且 b1＝1－2＝－1，于是数列{bn}是首项为－1，公比为的等比数列，所以 bn＝－1×＝－，故 an＝2－.等差、等比数列的基...