第 2 课时 两角和与差的正切公式学 习 目 标核 心 素 养1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式．(重点)2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值和证明．(重点)3.熟练两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用．(难点)1.借助两角和与差的正切公式的推导过程，培养学生逻辑推理素养.2.通过利用两角和与差的正切公式进行化简、求值，提升学生的数学运算和逻辑推理素养.两角和与差的正切公式思考：两角和与差的正切公式对任意角 α，β 均成立吗？[提示] 不是对任意角 α，β 均成立，必须使正切有意义，两角和的正切公式使用条件为 α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)，两角差的正切公式使用条件为 α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)．1．已知 tan α＝4，tan β＝3，则 tan(α＋β)＝( )A. B．－ C. D．－B [tan(α＋β)＝＝＝－.]2．若 tan＝3，则 tan α 的值为( )A．－2 B．－ C. D．2B [由 tan＝3，即＝3，可得：＝3，解得：tan α＝－.]3．已知 tan α＝2，则 tan＝ .－3 [tan＝＝＝－3.]4.＝ . [原式＝tan(75°－15°)＝tan 60°＝.]两角和与差的正切公式的应用【例 1】 (1)已知 tan α＝，tan(α－β)＝－，则 tan(β－2α)＝( )A．－ B．－C．－ D.(2)如图，在△ABC 中，AD⊥BC，D 为垂足，AD 在△ABC 的外部，且 BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，则 tan∠BAC＝ .思路点拨：(1)构造角 2α－β＝α＋(α－β)．(2)先求∠CAD，∠BAD 的正切值，再依据 tan∠BAC＝tan(∠CAD－∠BAD)求值．(1)B (2) [(1)由已知可知 tan(－α)＝－，又 β－2α＝(－α)－(α－β)，所以tan(β－2α)＝tan[(－α)－(α－β)]＝＝＝－.(2) AD⊥BC 且 BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，∴tan∠BAD＝＝，tan∠CAD＝＝，tan∠BAC＝tan(∠CAD－∠BAD)＝＝＝.]1．公式 T(α±β)的结构特征和符号规律：(1)结构特征：公式 T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为 tan α 与 tan β 的和或差，分母为 1 与 tan αtan β 的差或和．(2)符号规律：分子同，分母反．2．利用公式 T(α＋β)求角的步骤：(1)计算待求角的正切值．(2)缩小待求角的范围，特别注意隐含的信息．(3)根据角的范围及三角函数值确定角．[跟进训练]1．(1)(2018·全国卷Ⅱ)已知 tan＝，则 tan α＝ .(2)已知角 α，β 均为锐角，且 cos α＝，tan(α－β)＝－，则 tan β＝ .(1) (2)3 [(1)因为 tan＝，...
