第一章 导数及其应用为了刻画现实世界中运动变化着的现象，在数学中引入了函数．随着人们对函数研究的深入，人们在思考：已知物体运动的路程作为时间的函数，在任意时刻的速度与加速度是怎样的一种关系？怎样求任意曲线的切线和曲边形的面积、几何体的体积？怎样研究复杂函数的变化规律？怎样解决生活中的优化问题？……于是，导数与积分应运诞生了，它是数学史上具有划时代意义的伟大创造，是数学史上的里程碑．当你看到“导数”“积分”这两个名词时，你可能会感到陌生，其实它不过是初中数学的延伸．本章我们将会系统的学习如何用导数工具研究函数的性质，解决生活中的优化问题等一系列问题．学习本章，要深刻领会以直代曲，无限细分、积分的极限思想，体会用微观驾驭宏观的辩证思维方法，体会构造在研究数学中的作用．1.1 变化率与导数1.1.1 变化率问题自主预习·探新知情景引入 中国体坛名将刘翔在 21 岁时，以 12.94 秒的成绩打破了 12.95 秒的奥运会纪录，但经过验证他是以 12.91 秒平了世界纪录，他的平均速度达到 8.52 米/秒．通过这个事例我们可以看出，世界充满着变化，有些变化几乎不被人们所察觉，有的变化比较明显，而有些变化却让人们发出感叹和惊呼．这就是人们经常关心的变化快慢——变化率问题．新知导学 1．在气球膨胀过程中，当空气容量从 V1 增加到 V2 时，气球的半径从 r(V1)增加到r(V2)，气球的平均膨胀率是____.随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变__小__.2．高台跳水运动员当高度从 h(t1)变化到 h(t2)时，他的平均速度为____.3．函数平均变化率的定义已知函数 y＝f(x)，当自变量 x 从 x1 变化到 x2 时，函数值从 f(x1)变化到 f(x2)，则当x1≠x2时，比值____为函数 f(x)从 x1到 x2的平均变化率．习惯上用 Δx 表示 x2－x1，用__x1＋ Δ x __代替 x2；类似地，__Δ y ＝ f ( x 2) － f ( x 1)__，于是平均变化率可以表示为.预习自测 1．(2020·凉州区校级期末)在平均变化率的定义中，自变量的增量 Δx 满足( D )A．Δx＜0 B．Δx＞0C．Δx＝0 D．Δx≠0[解析] 由导数的定义，可得自变量 x 的增量 Δx 可以是正数、负数，不可以是 0.故选D．2．设函数 y＝f(x)，当自变量 x 由 x0改变到 x0＋Δx 时，函数值的改变量 Δy＝( D )A．f(x0＋Δx) B．f(x0)＋ΔxC．f(x0)·Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0)[解析] 函数值的改变量 Δy 是表示函数...
