高中数学 第一章 导数及其应用 1.1.2 变化率问题学案 新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学学案VIP专享

1.1.2 变化率问题一、学习要求1．会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度及瞬时加速度；2.理解并掌握导数的概念，学会求函数在某一点处导数的方法。二、先学后讲1．瞬时速度物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。物体在时刻的瞬时速度就是运动物体在到这段时间内的平均变化率，当时的极限，即0000()( )limlimttS ttS tSvtt  。2．瞬时加速度运动物体速度的平均变化率，当时，无限趋近于一个常数，这个常数称为物体在时的瞬时加速度，即0000()( )limlimttv ttv tvatt  。3．瞬时变化率函数在处的瞬时变化率是：0000()()limlimxxf xxf xyxx   。4．导数的概念函数在处的瞬时变化率是：10000()()limlimxxf xxf xyxx   ，称它为函数在处的导数。记为0()fx或0|x xy，即0()fx=0|x xy= 0000()()limlimxxf xxf xyxx   。【要点说明】（1）函数在某一点处的导数就是函数在处的瞬时变化率，也就是函数在区间上的平均变化率当时的值；（2）物体的位移关于时间的导数是物体的瞬时速度；物体运动的速度关于时间的导数是物体的瞬时加速度。（3）用导数的定义求函数在某一点处的导数的步骤：① 求平均变化率：；② 取极限，得导数00000()()()limlimxxf xxf xyfxxx   。 （4）在平均变化率中，是常数，是可以趋近于 0 的变量，其形式可以变化，如变成，等，即。三、问题探究■合作探究例 1．质点按规律做直线运动（位移单位：,时间单位： ），若质点在时的瞬时速度为，则常数。 （答案：2）2解：设质点在附近的时间变化量为，则位移的增量为：， ，∴，∴质点在时的瞬时速度为00limlim(4)4ttSvaa tat   ，∴，。例 2．函数在处的导数值(0)f 。 解：000(0)(0)(0)(0)()(0)linlinlinxxxfxffxffxfxxx   00(2)linlin (2)2xxxxxx    。■自主探究1. 已知函数可导且(1)1f  ，则0(1)(1)limxfxfx   。【解析】0(1)(1)lim(1)1xfxffx   。2．一个物体的运动方程是,其中单位是米， 的单位是秒，则物体在 3 秒末的瞬时速度是.3【解析】000(3)(3)limlimlim(7)7tttSStSvttt   ...