第 2 课时 两角和与差的正切公式[目标] 1.理解两角和与差的正切公式及其推导过程． 2.能够灵活运用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明等，掌握公式的正向、逆向及变形应用．[重点] 记住并会应用两角和与差的正切公式．[难点] 灵活运用公式进行求值、化简、证明．知识点一 两角和与差的正切公式 [填一填]两角和与差的正切公式[答一答]1．你能总结出公式 T(α±β)的结构特征和符号规律吗？提示：(1)公式 T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为 tanα 与 tanβ 的和或差，分母为 1 与tanαtanβ 的差或和．(2) 符号变化规律可简记为“分子同，分母反”．2．tan＝2－.解析：tan＝tan＝＝＝2－.类型一 公式的简单应用 [例 1] 求下列各式的值：(1)tan；(2).[解] (1)原式＝－tan＝－tan＝－＝－＝－2＋.(2)原式＝tan(75°－15°)＝tan60°＝.[变式训练 1] 已知 tan＝2，tan(α－β)＝，α∈，β∈.(1)求 tanα 的值；(2)求的值；(3)求 2α－β 的值．解：(1)tan＝＝2，得 tanα＝.(2)＝＝＝.(3)因为 tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝＝1，因为 β∈，又 α∈，得 2α－β∈，所以 2α－β＝.类型二 公式的变形应用 [例 2] (1)化简：tan23°＋tan37°＋tan23°tan37°；(2)若锐角 α，β 满足(1＋tanα)(1＋tanβ)＝4，求 α＋β.[分析] (1)的求解可利用 23°＋37°＝60°及两角和的正切公式将 tan(23°＋37°)展开变形求解，(2)的求解需将所给关系式的左边展开，逆用两角和的正切公式求出 tan(α＋β)．[解] (1) tan(23°＋37°)＝，∴＝.∴－tan23°tan37°＝tan23°＋tan37°.∴tan23°＋tan37°＋tan23°tan37°＝.(2) (1＋tanα)(1＋tanβ)＝1＋(tanα＋tanβ)＋3tanαtanβ＝4，∴tanα＋tanβ＝(1－tanαtanβ)．∴tan(α＋β)＝＝.又 α，β 均为锐角，∴0<α＋β<180°.∴α＋β＝60°.T(α±β)可变形为如下形式：①tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)或② 1∓tanαtanβ＝.当 α±β 为特殊角时，常考虑使用变形①，遇到 1 与正切的乘积的和(或差)时常用变形②.[变式训练 2] (1)若 tan28°·tan32°＝m，则 tan28°＋tan32°＝( B )A.m B．(1－m)C.(m－1) D．(m＋1)(2)△ABC 不是直角三角形，求证：tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC.答案：见解析解析：(1) 28°＋32°＝60°.∴tan(28°＋32°)＝＝tan60°＝.∴tan28°＋tan32°＝(1－m)．选 B.(2)...
