高中数学 第一章 计数原理 1.5 二项式定理学案（含解析）北师大版选修2-3-北师大版高二选修2-3数学学案VIP专享

§5 二项式定理知识点一 二项式定理 [填一填](a＋b)n＝C a n ＋ C a n － 1 b ＋ … ＋ C a n － r b r ＋ … ＋ C b n .这个公式称为二项式定理，等号右边的式子称为(a＋b)n的二项展开式．(a＋b)n的二项展开式共有 n ＋ 1 项，其中各项的系数 C(r＝0,1,2，…，n)称为二项式系数，Ca n － r b r 称为二项展开式的第 r＋1 项，又称为二项式通项．在二项式定理中，如果设 a＝1，b＝x，则得到公式：(1＋x)n＝1 ＋ Cx ＋ Cx 2 ＋ … ＋ Cx r ＋ … ＋ x n .[答一答]1．如何记忆二项式定理？提示：记忆二项式定理的关键是记住二项式的通项，Tr＋1＝Can－rbr，其中 Tr＋1为二项展开式的第 r＋1 项，a，b 的指数和为 n.2．在二项展开式中，二项式系数与项的系数是否是同一概念？提示：二项式系数与项的系数不是同一概念．如(a＋bx)n(a，b 是常数)的二项展开式，第 r＋1 项的二项式系数为 C，它是一个正数，而第 r＋1 项的系数为 Can－rbr，其值可正可负．知识点二 二项式系数的性质 [填一填](1)在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等．(2)如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大．(3)二项式系数的和等于 2 n ，即 C ＋ C ＋ C ＋ … ＋ C ＝ 2 n .(4)二项式展开式中，偶数项的二项式系数和等于奇数项的二项式系数和，即 C ＋ C ＋ C ＋ … ＝ C ＋ C ＋ C ＋ … ＝ 2 n － 1 .[答一答]3．如何证明 C－C＋C－C＋…＋(－1)n＋1C＝0.提示：令二项展开式中的 a＝1，b＝－1，即可得到要证明的结论．1．一个二项展开式的某一项的二项式系数与这一项的系数有何区别？二项式系数与项的系数是两个不同的概念．二项式系数仅与二项式的指数及项数有关 ，项的系数与二项式、二项式的系数与项数均有关，比如：在(3－)10的二项展开式中，通项是Tr＋1＝C(3)10－r(－)r(r＝0,1,2，…，10)，展开式的第 4 项的二项式系数为 C＝120，第 4 项的系数为 C37(－)3＝－77 760.2．二项展开式：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn的特点(1)它有 n＋1 项；(2)各项的次数和都等于二项式的次数 n；(3)字母 a 按降幂排列，次数由 n 递减到 0；字母 b 按升幂排列，次数由 0 递增到 n；(4)二项展开式中，系数 C(r＝0,1,2，…，n)叫...