高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 立体几何中的向量方法 3.2.3 利用空间向量求空间角、空间距离问题讲义 新人教A版选修2-1-新人教A版高二选修2-1数学教案

3.2.3 利用空间向量求空间角、空间距离问题1．空间角及向量求法角的分类向量求法范围异面直线所成的角设两异面直线所成的角为 θ，它们的方向向量为a，b，则 cosθ＝□ |cos 〈 a ， b 〉 | ＝□□直线与平面所成的角设直线 l 与平面 α 所成的角为 θ，l 的方向向量为a，平面 α 的法向量为 n，则 sinθ＝□ | cos 〈 a ， n 〉 | ＝□□二面角设二面角 α－l－β 的平面角为 θ，平面 α，β 的法向量为 n1，n2，则|cosθ|＝□ |cos 〈 n 1， n 2〉 | ＝□□ [ 0 ， π ] 2．空间距离的向量求法分类向量求法两点距设 A，B 为空间中任意两点，则 d＝□ | AB | 点面距设平面 α 的法向量为 n，B∉α，A∈α，则 B 点到平面 α 的距离 d＝□1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等．( )(2)直线 l∥平面 α，则直线 l 到平面 α 的距离就是直线 l 上的点到平面 α 的距离．( )(3)若平面 α∥β，则两平面 α，β 的距离可转化为平面 α 内某条直线到平面 β 的距离，也可转化为平面 α 内某点到平面 β 的距离．( )答案 (1)× (2)√ (3)√2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)已知两平面的法向量分别为 m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为________．(2)(教材改编 P111A 组 T11)如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1中，M 是 C1C 的中点，O 是底面ABCD 的中点，P 是 A1B1上的任意点，则直线 BM 与 OP 所成的角为________．(3)已知平面 α 的一个法向量为 n＝(－2，－2,1)，点 A(－1,3,0)在平面 α 内，则点P(－2,1,4)到平面 α 的距离为________．答案 (1)45°或 135° (2) (3)解析 (2)建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体棱长为 2 ，则 O(1,1,0)，P(2，x,2)，B(2,2,0)，M(0,2,1)，则OP＝(1，x－1,2)，BM＝(－2,0,1)．所以OP·BM＝0，所以直线 BM 与 OP 所成角为.探究 1 利用空间向量求线线角例 1 如图 1，已知两个正四棱锥 P－ABCD 与 Q－ABCD 的高分别为 1 和 2，AB＝4.求异面直线 AQ 与 PB 所成角的余弦值．[解] 由题设知，ABCD 是正方形，连接 AC，BD，交于点 O，则 AC⊥BD.连接 PQ，则 PQ 过点 O.由正四棱锥的性质知 PQ⊥平面 ABCD，故以 O 为坐标原点，以直线 CA，DB，QP 分别为 x轴、y 轴...