3.2 立体几何中的向量方法（3）向量法解决空间角和距离问题学习目标 1.理解直线与平面所成角、二面角的概念.2.掌握向量法解决空间角和距离问题. 3.体会空间向量解决立体几何问题的三步曲.知识点一 利用空间向量求空间角思考 1 空间角包括哪些角？答案 线线角、线面角、二面角.思考 2 求解空间角常用的方法有哪些？答案 传统方法和向量法.梳理 空间角包括线线角、线面角、二面角，这三种角的定义确定了它们相应的取值范围结合它们的取值范围可以用向量法进行求解.(1)线线角：设两条直线的方向向量分别为 a，b，且 a 与 b 的夹角为 φ，两条直线所成角为 θ，则 cos θ＝|cos φ | ＝.(2)线面角：设 n 为平面 α 的一个法向量，a 为直线 a 的方向向量，直线 a 与平面 α 所成的角为 θ，则θ＝(3)二面角：① 转化为分别在二面角的两个半平面内且与棱都垂直的两条直线上的方向向量的夹角 (注意：要特别关注两个向量的方向).如图所示，二面角 α－l－β 的大小为 θ，A，B∈l，AC⊂α，BD⊂β，AC⊥l 于 A，BD⊥l与 B，则 θ＝〈AC，BD〉＝〈CA，DB〉.② 先求出二面角一个面内一点到另一面的距离及到棱的距离，然后通过解直角三角形求角.如图所示，已知二面角 α－l－β，在 α 内取一点 P，过 P 作 PO⊥β，PA⊥l，垂足分别为O，A，连接 AO，则 AO⊥l 成立，所以∠PAO 就是二面角的平面角.③ 先求出二面角的两个半平面的法向量的夹角，然后结合图形与题意判断求出的是二面角的大小，还是它的补角的大小，从而确定二面角的大小.知识点二 利用空间向量求距离思考 1 求点到直线距离的常用方法有哪些？答案 (1)找垂线段，求其长度；(2)利用等面积法；(3)借助向量的模，利用数量积的几何意义求解.思考 2 求点到平面的距离的常用方法有哪些？答案 (1)确定垂线段法；(2)等体积法；(3)空间向量法.梳理 (1)点到直线的距离已知直线 l 是由向量 a 所确定的直线，P∈l，P0∉l，如图，PP0在 l 上的射影长为|PP0|cos〈PP0，a〉＝，则点 P0到直线 l 的距离 d＝＝.(2)点到平面的距离用空间向量法求点到平面的距离具体步骤如下：先确定平面的法向量，再求点与平面内一点的连线形成的斜线段在平面的法向量上的射影长.如图，设 n＝(a，b，c)是平面 α 的一个法向量， P0(x0，y0，z0)为 α 外一点，P(x，y，z)是平面 α 内的任意一点，则点 P0到平面 α 的距离 d＝＝.线面距离、...
