3.2.3 空间的角的计算学习目标 1.理解直线与平面所成角、二面角的概念.2.掌握向量法解决空间角的计算问题.3.体会空间向量解决立体几何问题的三步曲.知识点一 空间角的计算(向量法)思考 1 设 a，b 分别是空间两条直线 l1，l2 的方向向量，则 l1 与 l2 的夹角大小一定为〈a，b〉吗？思考 2 若二面角 α－l－β 的两个半平面的法向量分别为 n1，n2，则二面角的平面角与两法向量的夹角〈n1，n2〉一定相等吗？梳理 空间三种角的向量求法角的分类向量求法范围异面直线所成的角设两异面直线所成的角为 θ，它们的方向向量为 a ， b ， 则 cos θ ＝ ________ ＝______________.直线与平面所成的角设直线 l 与平面 α 所成的角为 θ，l 的方向向量为 e，平面 α 的法向量为 n，则 sin θ＝________＝________.二面角设二面角 α－l－β 为 θ，平面 α，β 的法向量分别为 n1，n2，则|cos θ|＝________＝.知识点二 向量法求线面角、二面角的原理1.向量法求直线与平面所成角的原理条件直线 l(方向向量为 e)与平面 α(法向量为 n)所成的角为θ图形关系〈e，n〉∈[0，]，θ＝－〈e，n〉〈e，n〉∈[，π]，θ＝〈e，n〉－计算sin θ＝|cos〈e，n〉|2.向量法求二面角的原理条件平面 α，β 的法向量分别为 n1，n2，α，β 所构成的二面角的大小为 θ，〈n1，n2〉＝φ图形关系θ＝φθ＝π－φ计算cos θ＝cos φcos θ＝－cos φ类型一 求两条异面直线所成的角例 1 如图，在三棱柱 OAB-O1A1B1 中，平面 OBB1O1⊥平面 OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且 OB＝OO1＝2，OA＝，求异面直线 A1B 与 AO1所成角的余弦值的大小.反思与感悟 在解决立体几何中两异面直线所成角问题时，若能构建空间直角坐标系，则建立空间直角坐标系，利用向量法求解.但应用向量法时一定要注意向量所成角与异面直线所成角的区别.跟踪训练 1 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E、F 分别是 A1D1、A1C1的中点，求异面直线 AE 与CF 所成角的余弦值.类型二 求直线和平面所成的角例 2 已知正三棱柱 ABC-A1B1C1的底面边长为 a，侧棱长为 a，求 AC1与侧面 ABB1A1所成的角.反思与感悟 用向量法求线面角的一般步骤是先利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系，再用向量的有关知识求解线面角.方法二给出了用向量法求线面角的常用方法，即先求平面法向量与斜线的夹角，再进行换算.跟 踪 训 练 2 ...
