3.2.3 空间向量与空间角、距离自主预习·探新知情景引入 同学们可能经常谈论**同学是白羊座的，**同学是双子座的．可是你知道十二星座的由来吗？我们知道，地球绕太阳公转的轨道平面称为“黄道面”．黄道面与地球赤道面交角 (二面角的平面角)为 23°27′，它与天球相交的大圆为“黄道”．黄道及其附近的南北宽 8°以内的区域称为黄道带．黄道带内有十二个星座，称为“黄道十二宫”．从春分(节气)点起，每 30°便是一宫，并冠以星座名，如白羊座、金牛座、双子座等等，这便是星座的由来．今天我们研究的问题之一就是二面角的平面角问题．新知导学 1．异面直线所成角异面直线所成的角取值范围是__(0 ， ] __，两向量夹角的取值范围是__[0 ， π] __，设 l1与 l2是两异面直线，a、b 分别为 l1、l2的方向向量，l1、l2所成的角为 θ，由向量夹角的定义及求法知〈a，b〉与 θ__相等__或__互补__，∴cosθ＝____.2．直线与平面所成的角如图，设 l 为平面 α 的斜线，l∩α＝A，a 为 l 的方向向量，n 为平面 α 的法向量，φ为 l 与 α 所成的角，θ＝〈a，n〉，则 sinφ＝|cosθ|＝|cos〈a，n〉|＝.直线与平面所成的角的取值范围是____.3．二面角平面 α 与 β 相交于直线 l，平面 α 的法向量为 n1，平面 β 的法向量为 n2，＝θ，则二面角 α－l－β 为 θ 或 π－θ.设二面角大小为 φ，则|cosφ|＝__|cos θ | __＝____.由于两条直线所成的角，线面角都不大于直角，因此可直接通过绝对值来表达，故可直接求出，而二面角的范围是__[0 ， π] __，有时比较难判断二面角是锐角还是钝角，因为不能仅仅由法向量夹角余弦的正负来判断，故这是求二面角的难点．4．点到平面的距离如图所示，已知点 B(x0，y0，z0)，平面 α 内一点 A(x1，y1，z1)，平面 α 的一个法向量n，直线 AB 与平面 α 所成的角为 φ，θ＝〈n，AB〉，则 sinφ＝|cos〈n，AB〉|＝|cosθ|.由数量积的定义知， n·AB＝|n||AB|cosθ，∴点 B 到平面 α 的距离 d＝|AB|·sinφ＝|AB|·|cosθ|＝____.5．异面直线间的距离如图，若 CD 是异面直线 a、b 的公垂线，A、B 分别为 a、b 上的任意两点，令向量n⊥a，n⊥b，则 n∥CD.则由AB＝AC＋CD＋DB得，AB·n＝AC·n＋CD·n＋DB·n，∴AB·n＝CD·n.∴|AB·n|＝|CD|·|n|，∴|CD|＝.∴两异面直线 a、b 间的距离为 d＝____.6．直线到平面的距离设直...
