三 平面与圆锥面的截线预习导航课程目标学习脉络1．了解不平行于底面且不通过圆锥的顶点的平面截圆锥的形状是椭圆、抛物线、双曲线．2．感受平面截圆锥的形状，并从理论上证明．3．通过 Dandelin 双球探求双曲线的性质，理解这种证明问题的方法.1．定理 2文字语言如果用一个平面去截一个正圆锥(两边可以无限延伸)，而且这个平面不通过圆锥的顶点，会出现三种情况： 如果平面与一条母线平行，那么平面就只与正圆锥的一半相交，这时的交线是抛物线； 如果平面不与母线平行，当平面只与圆锥的一半相交，这时的交线为椭圆；当平面与圆锥的两个部分都相交，这时的交线叫做双曲线符号语言在空间中，取直线 l 为轴，直线 l′与 l 相交于 O 点，夹角为 α，l′围绕 l 旋转得到以 O 为顶点，l′为母线的圆锥面．任取平面 π，若它与轴 l 的交角为 β(当π 与 l 平行时，记 β＝0)，则 (1)β＞α，平面 π 与圆锥的交线为椭圆； (2)β＝α，平面 π 与圆锥的交线为抛物线； (3)β＜α，平面 π 与圆锥的交线为双曲线图形语言作用确定交线的形状名师点拨 ①特别情况：β＝，平面 π 与圆锥的交线为圆，如图所示．1② 圆锥曲线的统一性，椭圆为封闭图形，双曲线、抛物线为不封闭图形，其图形不一样，但它们都可以用平面截对顶圆锥面得到，因此，圆、椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线．它们都满足曲线上的点到焦点的距离与到准线的距离之比为常数，即离心率 e，定义上的统一，必然也蕴含着图形统一．2．圆锥曲线的结构特点(1)椭圆上的点到两个定点(焦点)的距离之和为常数(长轴长 2a)．(2)双曲线上的点到两个定点(焦点)的距离之差的绝对值为常数(2a)．(3)抛物线上的点到一个定点(焦点)和一条定直线的距离相等．3．圆锥曲线的几何性质(1)焦点：Dandelin 球与平面 π 的切点．(2)准线：截面与 Dandelin 球和圆锥交线所在平面的交线．(3)离心率：e＝.(4)圆锥曲线的几何性质项目椭圆双曲线抛物线焦点2 个2 个1 个准线2 条2 条1 条离心率e＝＜1e＝＞1e＝1焦距F1F2＝2cc2＝a2－b2F1F2＝2cc2＝a2＋b2—离心率e＝e＝—准线间距—曲线上的点到焦点距离PF1＋PF2＝2a|PF1－PF2|＝2a—思考 在定理 2 中，当 β＜α 时，探究截线形状．剖析：如图，当 β＜α 时，平面 π 与圆锥面的两部分相交，在圆锥的两部分分别嵌入Dandelin 球，与平面 π 的两个切点分别为 F1，F2，与圆锥两部分截的圆分别为 S1，S...
