第三章 空间向量与立体几何1 空间向量加减法运用的三个层次空间向量是处理立体几何问题的有力工具，但要用好向量这一工具解题，必须熟练运用加减法运算．第 1 层 用已知向量表示未知向量例 1 如图所示，M，N 分别是四面体 OABC 的边 OA，BC 的中点，P，Q 是 MN 的三等分点，用向量OA，OB，OC表示OP和OQ.解 OP＝OM＋MP＝OA＋MN＝OA＋(ON－OM)＝OA＋(ON－OA)＝OA＋×(OB＋OC)＝OA＋OB＋OC；OQ＝OM＋MQ＝OA＋MN＝OA＋(ON－OM)＝OA＋(ON－OA)＝OA＋×(OB＋OC)＝OA＋OB＋OC.点评 用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立．第 2 层 化简向量例 2 如图，已知空间四边形 ABCD，连接 AC，BD.设 M，G 分别是 BC，CD 的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果的向量．(1)AB＋BC＋CD；(2)AB＋(BD＋BC)；(3)AG－(AB＋AC)．解 (1)AB＋BC＋CD＝AC＋CD＝AD.(2)AB＋(BD＋BC)＝AB＋BC＋BD＝AB＋BM＋MG＝AG.(3)AG－(AB＋AC)＝AG－AM＝MG.AD，AG，MG如图所示．点评 要求空间若干向量之和，可以通过平移，将它们转化为首尾相接的向量，如果首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为 0.两个向量相加的平行四边形法则在空间仍成立，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑运用平行四边形法则．第 3 层 证明立体几何问题例 3 如图，已知 M，N 分别为四面体 ABCD 的面 BCD 与面 ACD 的重心，且 G 为 AM 上一点，且 GM∶GA＝1∶3.求证：B，G，N 三点共线．证明 设AB＝a，AC＝b，AD＝c，则BG＝BA＋AG＝BA＋AM＝－a＋(a＋b＋c)＝－a＋b＋c，BN＝BA＋AN＝BA＋(AC＋AD)＝－a＋b＋c＝BG.∴BN∥BG，即 B，G，N 三点共线.2 空间向量易错点扫描易错点 1 对向量夹角与数量积的关系理解不清例 1 “a·b<0”是“〈a，b〉为钝角”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)错解 a·b<0⇔cos〈a，b〉＝<0⇔〈a，b〉为钝角，所以“a·b<0”是“〈a，b〉为钝角”的充要条件．错因分析 错解中忽略了两个向量共线且反向的情况．剖析 当〈a，b〉＝π 时，a·b<0，但此时夹角不为钝角，所以“a·b<0”...
