6.1数列的概念及其表示【真题典例】挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点数列的有关概念及性质1.了解数列的概念,数列的通项公式2.了解数列是自变量为正整数的一类函数,会用赋值法求数列的项2011天津,20,14分赋值法求数列的项、数列的通项公式不等式的证明★☆☆分析解读了解数列的概念和有关的表示方法,了解数列的通项公式、递推公式,了解数列的通项公式与前n项和公式之间的关系,了解数列是自变量为正整数的一类函数.考查数列的有关概念和性质,培养学生的创新能力、抽象概括能力.本节内容在高考中分值约为5分,属于中低档题.破考点【考点集训】考点数列的有关概念及性质1.在数列{an}中,a1=0,an+1=❑√3+an1-❑√3an,则a2016=()A.2❑√3B.❑√3C.0D.-❑√3答案D2.已知数列{an}满足a1=1,且an=n(an+1-an)(n∈N*),则a2=;an=.答案2;n3.已知数列{an}满足an=3an-1+3n-1(n∈N*,n≥2),且a1=5,则an=.答案(n+4)·3n-14.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=an+1-2n+2,a2=2,则an=.答案{2,n=12n-2,n>1炼技法【方法集训】方法1利用an与Sn的关系求通项1.已知数列{an}的前n项和为Sn,若3Sn=2an-3n,则a2018=()A.22018-1B.32018-6C.(12)2018-72D.(13)2018-103答案A2.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-1,则S6a6=()A.6332B.3116C.12364D.127128答案A3.已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,Sn=(n+1)an2,则a2017=()A.2016B.2017C.4032D.4034答案B4.已知Sn为数列{an}的前n项和,且log2(Sn+1)=n+1,则数列{an}的通项公式为.答案an={3,n=12n,n≥2方法2利用递推关系求数列的通项5.已知数列{an}中,a1=1,an+1=2an+1(n∈N*),Sn为其前n项和,则S5的值为()A.57B.61C.62D.63答案A6.在数列{an}中,a1=1,an+1=2anan+2,则数列{an}的通项an=.答案2n+17.已知数列{an}的前n项之和为Sn,若a1=2,an+1=an+2n-1+1,则S10=.答案1078过专题【五年高考】A组自主命题·天津卷题组(2011天津,20,14分)已知数列{an}与{bn}满足bnan+an+1+bn+1an+2=0,bn=3+(-1)n2,n∈N*,且a1=2,a2=4.(1)求a3,a4,a5的值;(2)设cn=a2n-1+a2n+1,n∈N*,证明{cn}是等比数列;(3)设Sk=a2+a4+…+a2k,k∈N*,证明∑k=14nSkak<76(n∈N*).解析(1)由bn=3+(-1)n2,n∈N*,可得bn={1,n,为奇数2,n.为偶数又bnan+an+1+bn+1an+2=0,当n=1时,a1+a2+2a3=0,由a1=2,a2=4,可得a3=-3;当n=2时,2a2+a3+a4=0,可得a4=-5;当n=3时,a3+a4+2a5=0,可得a5=4.(2)证明:对任意n∈N*,a2n-1+a2n+2a2n+1=0,①2a2n+a2n+1+a2n+2=0,②a2n+1+a2n+2+2a2n+3=0,③②-③,得a2n=a2n+3,④将④代入①,可得a2n+1+a2n+3=-(a2n-1+a2n+1),即cn+1=-cn(n∈N*).又c1=a1+a3=-1,故cn≠0,因此cn+1cn=-1.所以{cn}是等比数列.(3)证明:由(2)可得a2k-1+a2k+1=(-1)k,于是,对任意k∈N*且k≥2,有a1+a3=-1,-(a3+a5)=-1,a5+a7=-1,(-1)k(a2k-3+a2k-1)=-1.将以上各式相加,得a1+(-1)ka2k-1=-(k-1),即a2k-1=(-1)k+1(k+1),此式当k=1时也成立.由④式得a2k=(-1)k+1·(k+3).从而S2k=(a2+a4)+(a6+a8)+…+(a4k-2+a4k)=-k,S2k-1=S2k-a4k=k+3,所以,对任意n∈N*,n≥2,∑k=14nSkak=∑m=1n(S4m-3a4m-3+S4m-2a4m-2+S4m-1a4m-1+S4ma4m)=∑m=1n(2m+22m-2m-12m+2-2m+32m+1+2m2m+3)=∑m=1n(22m(2m+1)+3(2m+2)(2m-3))=22×3+∑m=2n52m(2m+1)+3(2n+2)(2n+3)<13+∑m=2n5(2m-1)(2m+1)+3(2n+2)(2n+3)=13+52·[(13-15)+(15-17)+…+(12n-1-12n+1)]+3(2n+2)(2n+3)=13+56-52·12n+1+3(2n+2)(2n+3)<76.对于n=1,不等式显然成立.思路分析本题主要考查等比数列的定义、数列求和的基础知识和基本计算.(1)由已知条件bn=3+(-1)n2,bnan+an+1+bn+1an+2=0,a1=2,a2=4,依次代入n=1,2,3,求出a3,a4,a5的值.(2)由bn={1,n,为奇数2,n为偶数和bnan+an+1+bn+1an+2=0得出a2n-1,a2n,a2n+1,a2n+2,a2n+3间的关系式,此步的目的是与cn=a2n-1+a2n+1形式统一,从而导出cn+1,cn的关系式,进而证明{cn}是等比数列.(3)由(2)问有a2k-1+a2k+1=(-1)k,通过累加得a2k-1=(-1)k+1(k+1),则有a2k=(-1)k+1(k+3).通过a2k,a2k-1的通项求出S2k-1,S2k的通项,代入到∑k=14nSkak,通过放缩推导证明.B组统一命题、省(区、市)卷题组1.(2018课标Ⅰ,14,5分)记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn=2an+1,则S6=....
