课时跟踪检测（五十二）直线与圆锥曲线的位置关系一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．过抛物线y2＝2x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线有________条．解析： 通径2p＝2，又|AB|＝x1＋x2＋p，∴|AB|＝3>2p，故这样的直线有且只有2条．答案：22．椭圆ax2＋by2＝1与直线y＝1－x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则＝________.解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，结合题意，由点差法得，＝－·＝－·＝－·＝－1，∴＝.答案：3．经过椭圆＋y2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A，B两点．设O为坐标原点，则·＝________.解析：依题意，当直线l经过椭圆的右焦点(1,0)时，其方程为y－0＝tan45°(x－1)，即y＝x－1，代入椭圆方程＋y2＝1并整理得3x2－4x＝0，解得x＝0或x＝，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，，∴·＝－，同理，直线l经过椭圆的左焦点时，也可得·＝－.答案：－4．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，F(，0)为其右焦点，过F且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2.则椭圆C的方程为________．解析：由题意得解得∴椭圆C的方程为＋＝1.答案：＋＝15．双曲线－＝1的左右焦点分别为F1，F2，若在双曲线的右支存在点P，使|PF1|＝3|PF2|.则P点坐标为________．解析：设点P(x0，y0)，P到左、右准线的距离分别为d1，d2.则|PF1|＝ed1，|PF2|＝ed2.因为|PF1|＝3|PF2|，所以d1＝3d2，即x0＋＝3，所以x0＝＝.再将x0＝代入双曲线方程，得y0＝±.所以所求点P坐标为.答案：二保高考，全练题型做到高考达标1．与双曲线－＝1有共同的渐近线，一条准线为x＝的双曲线的标准方程为________．解析：由题设可设所求双曲线方程为－＝1(λ>0)．该双曲线的右准线方程为：x＝＝，所以λ＝4，所以所求的双曲线方程为－＝1.答案：－＝12．已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为________．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且两点在抛物线上，∴①－②得(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)，又线段AB的中点的纵坐标为2，∴y1＋y2＝4，又直线的斜率为1，∴＝1，∴2p＝4，p＝2，∴抛物线的准线方程为x＝－＝－1.答案：x＝－13．已知椭圆＋＝1(00，b>0)的左、右两个焦点，l为左准线，离心率e＝，P是左支上一点，P到l的距离为d，且d，PF1，PF2成等差数列．则此双曲线方程为________．解析：由双曲线的第二定义知：d＝PF1，又PF1＝－(ex0＋a)＝14－a，|PF2|＝－(ex0－a)＝14＋a，由已知得：d＋|PF2|＝2|PF1|，即(14－a)＋(14＋a)＝28－2a，得a＝2，c＝3，b＝，故双曲线的方程为－＝1.答案：－＝17．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为________．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋t，代入＋y2＝1，消去y得x2＋2tx＋t2－1＝0，由题意得Δ＝(2t)2－5(t2－1)＞0，即t2＜5...
