第22练圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题[明晰考情]1.命题角度：圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考常考的问题；以椭圆或抛物线为背景，尤其是与条件或结论相关存在性开放问题.2.题目难度：偏难题.考点一圆锥曲线中的定值问题方法技巧(1)求定值问题常见的方法有两种①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.(2)定值问题求解的基本思路是使用参数表示要解决的问题，然后证明与参数无关，这类问题选择消元的方向是非常关键的.1.已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的长轴长为4，且过点.(1)求椭圆的方程；(2)设A，B，M是椭圆上的三点.若OM＝OA＋OB，点N为线段AB的中点，C，D，求证：|NC|＋|ND|＝2.(1)解由已知可得故所以椭圆的方程为＋y2＝1.(2)证明设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋y＝1，＋y＝1.由OM＝OA＋OB，得M.因为M是椭圆C上一点，所以＋2＝1，即2＋2＋2×××＝1，得2＋2＋2×××＝1，故＋y1y2＝0.又线段AB的中点N的坐标为，所以＋22＝＋＋＋y1y2＝1.从而线段AB的中点N在椭圆＋2y2＝1上.又椭圆＋2y2＝1的两焦点恰为C，D，所以|NC|＋|ND|＝2.2.(2018·北京)已知抛物线C：y2＝2px经过点P(1,2)，过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.(1)求直线l的斜率的取值范围；(2)设O为原点，QM＝λQO，QN＝μQO，求证：＋为定值.(1)解因为抛物线y2＝2px过点(1,2)，所以2p＝4，即p＝2.故抛物线C的方程为y2＝4x.由题意知，直线l的斜率存在且不为0.设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0)，由得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.依题意知Δ＝(2k－4)2－4×k2×1＞0，解得k＜0或0＜k＜1.又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点(1，－2).从而k≠－3.所以直线l的斜率的取值范围是(－∞，－3)∪(－3,0)∪(0,1).(2)证明设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(1)知x1＋x2＝－，x1x2＝.直线PA的方程为y－2＝(x－1)，令x＝0，得点M的纵坐标为yM＝＋2＝＋2.同理得点N的纵坐标为yN＝＋2.由QM＝λQO，QN＝μQO，得λ＝1－yM，μ＝1－yN.所以＋＝＋＝＋＝·＝·＝2.所以＋为定值.3.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，A(a,0)，B(0，b)，O(0,0)，△OAB的面积为1.(1)求椭圆C的方程；(2)设P是椭圆C上异于A，B的一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：|AN|·|BM|为定值.(1)解由已知＝，ab＝1.又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝1，c＝.∴椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)证明由(1)知，A(2,0)，B(0,1).设椭圆上一点P(x0，y0)，则＋y＝1.当x0≠0时，直线PA的方程为y＝(x－2)，令x＝0，得yM＝.从而|BM|＝|1－yM|＝.直线PB的方程为y＝x＋1.令y＝0，得xN＝.∴|AN|＝|2－xN|＝.∴|AN|·|BM|＝·＝·＝＝＝4.当x0＝0时，y0＝－1，|BM|＝2，|AN|＝2，∴|AN|·|BM|＝4.故|AN|·|BM|为定值.考点二圆锥曲线中的定点问题方法技巧(1)动直线l过定点问题.设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m,0).(2)动曲线C过定点问题.引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点.4.已知两点A(－，0)，B(，0)，动点P在y轴上的投影是Q，且2PA·PB＝|PQ|2.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过F(1,0)作互相垂直的两条直线分别交轨迹C于点G，H和M，N，且E1，E2分别是GH，MN的中点.求证：直线E1E2恒过定点.(1)解设点P的坐标为(x，y)，∴点Q的坐标为(0，y). 2PA·PB＝|PQ|2，PA＝(－－x，－y)，PB＝(－x，－y)，|PQ|＝|x|，∴2[(－－x)(－x)＋y2]＝x2，化简得点P的轨迹方程为＋＝1.(2)证明当两直线的斜率都存在且不为0时，设lGH：y＝k(x－1)，G(x1，y1)，H(x2，y2)，lMN：y＝－(x－1)，M(x3，y3)，N(x4，y4)，联立消去y得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－4＝0.则Δ>0恒成立.∴x1＋x2＝，x1x2＝.∴GH中点E1的坐标为.同理，MN中点E2的坐标为，∴kE1E2＝，∴lE1E2的方程为y－＝，即y＝，∴直线E1E2恒过定点；当两直线的斜率分别为0和不存在时，lE1E2的方程为y＝0，也过点.综上所述，lE1E2过定点.5.已知焦距为2的椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右顶点为A，直线y＝与椭圆C交于P，Q两点(...
