开卷速查(四十六)立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直A级基础巩固练1．如图，在底面是矩形的四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，E，F分别是PC，PD的中点，PA＝AB＝1，BC＝2。求证：(1)EF∥平面PAB；(2)平面PAD⊥平面PDC。证明：(1)以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)，∴E，F，EF＝，PB＝(1,0，－1)，PD＝(0,2，－1)，AP＝(0,0,1)，AD＝(0,2,0)，DC＝(1,0,0)，AB＝(1,0,0)。∵EF＝－AB，∴EF∥AB，即EF∥AB，又AB⊂平面PAB，EF⊄平面PAB，∴EF∥平面PAB。(2)∵AP·DC＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0，AD·DC＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0，∴AP⊥DC，AD⊥DC，即AP⊥DC，AD⊥DC。又AP∩AD＝A，∴DC⊥平面PAD。∵DC⊂平面PDC，∴平面PAD⊥平面PDC。2．如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点。求证：(1)AM∥平面BDE；(2)AM⊥平面BDF。证明：(1)以C为坐标原点，CD，CB，CE所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AC∩BD＝N，连接NE。则点N，E的坐标分别为，(0,0,1)。∴NE＝。又点A，M的坐标分别是(，，0)，，∴AM＝。∴NE＝AM且NE与AM不共线。∴NE∥AM。又∵NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，∴AM∥平面BDE。(2)由(1)知AM＝，∵D(，0,0)，F(，，1)，∴DF＝(0，，1)。∴AM·DF＝0，∴AM⊥DF。同理可证AM⊥BF。又DF∩BF＝F，DF，BF⊂平面BDF，∴AM⊥平面BDF。B级能力提升练3．在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E、F分别是AB、PB的中点。(1)求证：EF⊥CD；(2)在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论。解析：(1)证明：如图，以DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设AD＝a，则D(0,0,0)、A(a,0,0)、B(a，a,0)、C(0，a,0)、E、P(0,0，a)、F。EF＝，DC＝(0，a,0)。∵EF·DC＝0，∴EF⊥DC，即EF⊥CD。(2)设G(x,0，z)，则FG＝，若使GF⊥平面PCB，则由FG·CB＝·(a,0,0)＝a＝0，得x＝；由FG·CP＝·(0，－a，a)＝＋a＝0，得z＝0。∴G点坐标为，即G点为AD的中点。4．如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝3AF，BE与平面ABCD所成角为60°。(1)求证：AC⊥平面BDE；(2)设点M是线段BD上一个动点，试确定M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论。解析：(1)证明：∵DE⊥平面ABCD，∴DE⊥AC。∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD。从而AC⊥平面BDE。(2)∵DA，DC，DE两两垂直，∴建立空间直角坐标系D－xyz如图所示。∵BE与平面ABCD所成角为60°，即∠DBE＝60°，∴＝。∵正方形ABCD的边长为3，∴BD＝3，∴DE＝3，AF＝。则A(3,0,0)，F(3,0，)，E(0,0，3)，B(3,3,0)，C(0,3,0)。∴BF＝(0，－3，)，EF＝(3,0，－2)。设平面BEF的法向量为n＝(x，y，z)，则即令z＝，则n＝(4,2，)。点M是线段BD上一个动点，设M(t，t,0)，则AM＝(t－3，t,0)。∵AM∥平面BEF，∴AM·n＝0。即4(t－3)＋2t＝0，解得t＝2。此时，点M为(2,2,0)，BM＝BD，符合题意。
