大题规范满分练(五)解析几何综合问题1.(2018·北京高考)已知抛物线C:y2=2px经过点P(1,2).过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于M,直线PB交y轴于N.(1)求直线l的斜率的取值范围.(2)设O为原点,=λ,=μ,求证:+为定值.【解析】将点P代入C的方程得4=2p,即p=2,所以抛物线C的方程为y2=4x,(1)显然l斜率存在,设为k,则l:y=kx+1,由消去y得k2x2+(2k-4)x+1=0,(*)由已知,方程(*)有两个不同的根,且1不是方程的根(因为PA,PB都与y轴有交点),所以Δ=-16k+16>0且k2+(2k-4)+1≠0,即k<1,且k≠-3,且k≠1,所以k<1,且k≠-3,即直线l斜率的取值范围是(-∞,-3)∪(-3,1).(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线PA方程为y-2=(x-1),令x=0得y=-+2,即点M为,所以=,又=(0,-1),=λ,所以=λ(0,-1),所以λ=-1=,=,又点A(x1,y1)在直线l:y=kx+1上,所以===-,同理=-,由(1)中方程(*)及根与系数的关系得,x1+x2=-,x1x2=,所以+=-+-=-=-·=-·==2,即+为定值2.2.(2019·安庆模拟)已知椭圆M:+=1(a>b>0)的一个顶点坐标为(0,1),离心率为,动直线y=x+m交椭圆M于不同的两点A,B,T(1,1).(1)求椭圆M的标准方程.(2)试问:△TAB的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由题意得=,b=1,又a2=b2+c2,所以a=,c=1,椭圆M的标准方程为+y2=1.(2)由得,3x2+4mx+2m2-2=0.由题意得,Δ=16m2-24(m2-1)>0,即m2-3<0,所以-
