立体几何1612
已知三棱锥P—ABC中，E、F分别是AC、AB的中点，△ABC，△PEF都是正三角形，PF⊥AB
（Ⅰ）证明PC⊥平面PAB；（Ⅱ）求二面角P—AB—C的平面角的余弦值；（Ⅲ）若点P、A、B、C在一个表面积为12π的球面上，求△ABC的边长
解法二：设P在平面ABC内的射影为O
≌≌得PA=PB=PC
于是O是△ABC的中心
为所求二面角的平面角
设AB=a，则…………8分（Ⅲ）解法一：设PA=x，球半径为R
………12分解法二：延长PO交球面于D，那么PD是球的直径
连结OA、AD，可知△PAD为直角三角形
设AB=x，球半径为R
……12分13
如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，E为棱CC1上异于C、C1的一点，EA⊥EB1，已知AB=，BB1=2，BC=1，∠BCC1=，求：（Ⅰ）异面直线AB与EB1的距离；（Ⅱ）二面角A—EB1—A1的平面角的正切值
（Ⅱ）过E作EG//B1A1，则GE⊥面BCC1B，故GE⊥EB1且GE在圆A1B1E内，又已知AE⊥EB1故∠AEG是二面角A—EB1—A1的平面角
因EG//B1A1//BA，∠AEG=∠BAE，故解法二：（Ⅱ）由（I）可得∠AEB是二面角A—EB1—B的平面角，在Rt△ABE中，由AB=，BE=1，得tanAEB=
又由已知得平面A1B1E⊥平面BB1C1C，故二面角A—EB1—A1的平面角，故解法三：（I）以B为原点，、分别为y、z轴建立空间直角坐标系
由于BC=1，BB1=2，AB=，∠BCC1=，（II）由已知有故二面角A—EB1—A1的平面角的大小为向量的夹角
（1）若处取得极值，求常数a的值；（2）若上为增函数，求a的取值范围
