立体几何1221.如图，在五面体中，点是矩形的对角线的交点，面是等边三角形，棱．（1）证明//平面；（2）设，证明平面．解析：本小题考查直线与平面平行、直线与平面垂直等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力。（Ⅰ）证明：取CD中点M，连结OM.在矩形ABCD中，，又，则，连结EM，于是四边形EFOM为平行四边形.又平面CDE，切EM平面CDE，∵FO∥平面CDE（Ⅱ）证明：连结FM，由（Ⅰ）和已知条件，在等边△CDE中，且.因此平行四边形EFOM为菱形，从而EO⊥FM而FM∩CD=M，∴CD⊥平面EOM，从而CD⊥EO.而，所以EO⊥平面CDF.22.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD，且PA＝AD=AB=2BC,M、N分别为PC、PB的中点.(Ⅰ)求证：PB⊥DM;(Ⅱ)求CD与平面ADMN所成的角点评：本题主要考查空间线线、线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力。方法二：如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，则.（I）因为，所以（II）因为，所以，又因为，所以平面因此的余角即是与平面所成的角.因为，所以与平面所成的角为.23．如图，在四棱锥P—ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC，M、N分别为PC、PB的中点。（Ⅰ）求证：PB⊥DM；（Ⅱ）求BD与平面ADMN所成的角。本题主要考查空间线线、线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力。满分14分。方法二：如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系,设BC=1，则（Ⅰ）因为，所以PB⊥DM.（Ⅱ）因为，所以PB⊥AD.又PB⊥DM.因此的余角即是BD与平面ADMN所成的角.因为，所以=，因此BD与平面ADMN所成的角为.24．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA底面ABCD,DAB为直角，AB‖CD,AD=CD=24,E、F分别为PC、CD的中点.（Ⅰ）试证：CD平面BEF;（Ⅱ）设PA＝k·AB,且二面角E-BD-C的平面角大于,求k的取值范围.解析：（I）证：由已知且为直角。故ABFD是矩形。从而。又底面ABCD，，故由三垂线定理知D中,E、F分别为PC、CD的中点，故EF//PD,从而，由此得面BEF。（II）连接AC交BF于G，易知G为AC的中点，连接EG，则在中易知EG//PA。又因PA底面ABCD，故EG底面ABCD。在底面ABCD中，过G作GHBD。垂足为H，连接EH，由三垂线定理知EHBD。从而为二面角E－BD－C的平面角。设以下计算GH，考虑底面的平面图。连结GD，因故GH＝.在。而。因此，。由知是锐角。故要使，必须，解之得，中的取值范围为25.在长方体中，已知，求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.（坐标法）以D为坐标原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.则A1(4,0,3)、B(4,4,0)、B1(4,4,3)、C(0,4,0)，得．设与的夹角为θ，则，所以与的夹角大小为，即异面直线A1B与B1C所成角的大小为．
