立体几何1015．如图，已知平面A1B1C1平行于三棱锥V-ABC的底面ABC，等边∆AB1C所在的平面与底面ABC垂直，且ACB=90°，设AC=2a,BC=a.（1）求证直线B1C1是异面直线AB1与A1C1的公垂线；（2）求点A到平面VBC的距离；（3）求二面角A-VB-C的大小.解法1：（Ⅰ）证明：∵平面∥平面，又∵平面⊥平面，平面∩平面，∴⊥平面，，又，.为与的公垂线.（Ⅱ）解法1：过A作于D，∵△为正三角形，∴D为的中点.∵BC⊥平面∴，又，∴AD⊥平面，∴线段AD的长即为点A到平面的距离.在正△中，.∴点A到平面的距离为.(III)过点作于，连，由三重线定理知是二面角的平面角。在中，。。所以，二面角的大小为arctan.16．如图,α⊥β,α∩β=l,A∈α,B∈β,点A在直线l上的射影为A1,点B在l的射影为B1,已知AB=2,AA1=1,BB1=,求:(Ⅰ)直线AB分别与平面α,β所成角的大小;(Ⅱ)二面角A1－AB－B1的大小.解法一:(Ⅰ)如图，连接A1B，AB1，∵α⊥β，α∩β=l,AA1⊥l，BB1⊥l，∴AA1⊥β，BB1⊥α．则∠BAB1，∠ABA1分别是AB与α和β所成的角．Rt△BB1A中，BB1=，AB=2，∴sin∠BAB1==．∴∠BAB1=45°．Rt△AA1B中，AA1=1，AB=2，sin∠ABA1==，∴∠ABA1=30°．故AB与平面α，β所成的角分别是45°，30°．(Ⅱ)∵BB1⊥α，∴平面ABB1⊥α．在平面α内过A1作A1E⊥AB1交AB1于E，则A1E⊥平面AB1B．过E作EF⊥AB交AB于F，连接A1F，则由三垂线定理得A1F⊥AB，∴∠A1FE就是所求二面角的平面角．在Rt△ABB1中，∠BAB1=45°，∴AB1=B1B=．∴Rt△AA1B中，A1B===．由AA1·A1B=A1F·AB得A1F===，∴在Rt△A1EF中，sin∠A1FE==，∴二面角A1－AB－B1的大小为arcsin．解法二:(Ⅰ)同解法一．(Ⅱ)如图，建立坐标系，则A1(0，0，0)，A(0，0，1)，B1(0，1，0)，B(，1，0)．在AB上取一点F(x，y，z)，则存在t∈R，使得AF=tAB，即(x，y，z－1)=t(，1，－1)，∴点F的坐标为(t，t，1－t)．要使A1F⊥AB，须A1F·AB=0，即(t，t，1－t)·(，1，－1)=0，2t+t－(1－t)=0，解得t=，∴点F的坐标为(，－，)，∴A1F=(，，)．设E为AB1的中点，则点E的坐标为(0，，)．∴EF=(，－，)．又EF·AB=(，－，)·(，1，－1)=－－=0，∴EF⊥AB，∴∠A1FE为所求二面角的平面角．又cos∠A1FE=====，∴二面角A1－AB－B1的大小为arccos．17．在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60．（1）求四棱锥P－ABCD的体积；（2）若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．设的夹角为θ,有cosθ=,θ=arccos,∴异面直线DE与PA所成角的大小是arccos；解法二：取AB的中点F,连接EF、DF.由E是PB的中点,得EF∥PA，∴∠FED是异面直线DE与PA所成角(或它的补角)，在Rt△AOB中AO=ABcos30°==OP，于是,在等腰Rt△POA中，PA=，则EF=.在正△ABD和正△PBD中,DE=DF=，cos∠FED==∴异面直线DE与PA所成角的大小是arccos.18.．在直三棱柱中，.（1）求异面直线与所成的角的大小；（2）若与平面S所成角为，求三棱锥的体积。解：(1)∵BC∥B1C1,∴∠ACB为异面直线B1C1与AC所成角(或它的补角)∵∠ABC=90°,AB=BC=1,∴∠ACB=45°,∴异面直线B1C1与AC所成角为45°.(2)∵AA1⊥平面ABC,∠ACA1是A1C与平面ABC所成的角,∠ACA=45°.∵∠ABC=90°,AB=BC=1,AC=,∴AA1=.∴三棱锥A1-ABC的体积V=S△ABC×AA1=.
