立体几何036.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F（1）证明PA//平面EDB；（2）证明PB⊥平面EFD；（3）求二面角C—PB—D的大小解析：方法一：（1）证明：连结AC，AC交BD于O，连结EO∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点在中，EO是中位线，∴PA//EO而平面EDB且平面EDB，所以，PA//平面EDB（2）证明：∵PD⊥底面ABCD且底面ABCD，∴∵PD=DC，可知是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，∴①同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC而平面PDC，∴②由①和②推得平面PBC而平面PBC，∴又且，所以PB⊥平面EFD方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设（1）证明：连结AC，AC交BD于G，连结EG依题意得从而所以由条件知，，即，解得∴点F的坐标为，且，∴即，故是二面角C—PB—D的平面角∵，且，，∴∴所以，二面角C—PB—D的大小为7.解析：方法一解:(Ⅰ)记AC与BD的交点为O,连接OE,∵O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形，∴四边形AOEM是平行四边形，∴AM∥OE∵平面BDE，平面BDE，∴AM∥平面BDE(Ⅱ)在平面AFD中过A作AS⊥DF于S，连结BS，∵AB⊥AF，AB⊥AD，∴AB⊥平面ADF，∴AS是BS在平面ADF上的射影，由三垂线定理得BS⊥DF∴∠BSA是二面角A—DF—B的平面角在RtΔASB中，∴∴二面角A—DF—B的大小为60º方法二（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系设，连接NE，则点N、E的坐标分别是（、（0,0,1）,∴=(,又点A、M的坐标分别是（）、（∴=（∴=且NE与AM不共线，∴NE∥AM又∵平面BDE，平面BDE，∴AM∥平面BDF（Ⅱ）∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF∴AB⊥平面ADF∴为平面DAF的法向量∵=（·=0，∴=（·=0得,∴NE为平面BDF的法向量
