1.4全称量词与存在量词A级基础巩固一、选择题1．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是()A．锐角三角形的内角是锐角或钝角B．至少有一个实数x，使x2≤0C．两个无理数的和必是无理数D．存在一个负数x，使＞2解析：A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B中x＝0时，x2＝0，所以B既是特称命题又是真命题；C中因为＋(－)＝0，所以C是假命题；D中对于任一个负数x，都有＜0，所以D是假命题．答案：B2．命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是()A．∀x∉R，x2≠xB．∀x∈R，x2＝xC．∃x∉R，x2≠xD．∃x∈R，x2＝x解析：全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是“∃x∈R，x2＝x”．答案：D3．下列四个命题中的真命题为()A．若sinA＝sinB，则A＝BB．∀x∈R，都有x2＋1＞0C．若lgx2＝0，则x＝1D．∃x0∈Z，使1＜4x0＜3解析：A中，若sinA＝sinB，不一定有A＝B，故A为假命题；B显然是真命题；C中，若lgx2＝0，则x2＝1，解得x＝±1，故C为假命题；D中，解1＜4x＜3得＜x＜，故不存在这样的x∈Z，故D为假命题．答案：B4．下列命题中，真命题是()A．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数B．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数C．∀m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数D．∀m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数解析：当m＝0时，函数f(x)＝x2＋mx＝x2为偶函数，故“∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数”是真命题．答案：A5．若＜33x＋a2恒成立，则实数a的取值范围是()A．0＜a＜1B．a＞C．0＜a＜D．a＜解析：由题意，得－x2＋2ax＜3x＋a2，即x2＋(3－2a)x＋a2＞0恒成立，所以Δ＝(3－2a)2－4a2＜0，解得a＞.答案：B二、填空题6．命题“∃x0，y0∈Z，3x0－2y0＝10”的否定是______________．解析：特称命题的否定是全称命题，则否定为∀x，y∈Z，3x－2y≠10.答案：∀x，y∈Z，3x－2y≠107．下列命题中，是全称命题的是________；是特称命题的是________．①正方形的四条边相等；②有两个角相等的三角形是等腰三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．解析：①可表述为“每一个正方形的四条边相等”，是全称命题；②是全称命题，即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”；③可表述为“所有正数的平方根不等于0”是全称命题；④是特称命题．答案：①②③④8．下面四个命题：①∀x∈R，x2－3x＋2＞0恒成立；②∃x∈Q，x2＝2；③∃x∈R，x2＋1＝0；④∀x∈R，4x2＞2x－1＋3x2.其中真命题的个数为________．解析：x2－3x＋2＞0，Δ＝(－3)2－4×2＞0，所以当x＞2或x＜1时，x2－3x＋2＞0才成立，所以①为假命题．当且仅当x＝±时，x2＝2，所以不存在x∈Q，使得x2＝2，所以②为假命题．对∀x∈R，x2＋1≠0，所以③为假命题.4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，所以④为假命题．所以①②③④均为假命题．答案：0三、解答题9．判断下列各命题的真假，并写出命题的否定．(1)有一个实数a，使不等式x2－(a＋1)x＋a＞0恒成立；(2)对任意实数x，不等式|x＋2|≤0恒成立；(3)在实数范围内，有些一元二次方程无解．解：(1)方程x2－(a＋1)x＋a＝0的判别式Δ＝(a＋1)2－4a＝(a－1)2≥0，则不存在实数a，使不等式x2－(a＋1)x＋a＞0恒成立，所以原命题为假命题．它的否定：对任意实数a，不等式x2－(a＋1)x＋a＞0不恒成立．(2)当x＝1时，|x＋2|＞0，所以原命题是假命题．它的否定：存在实数x，使不等式|x＋2|＞0成立．(3)由一元二次方程解的情况，知该命题为真命题．它的否定：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解．10．对于任意实数x，不等式sinx＋cosx＞m恒成立，求实数m的取值范围．解：令y＝sinx＋cosx，则y＝sinx＋cosx＝＝sin.因为－1≤sin≤1，所以sin≥－.因为∀x∈R，sinx＋cosx＞m恒成立，所以只要m＜－即可．故实数m的取值范围是(－∞，－)．B级能力提升1．已知命题p：∃x0∈R，使sinx0＝；命题q：∀x∈R，都有x2＋x＋1＞0.给出下列结论：①命题p是真命题；②命题q是假命题；③命题(綈p)∧q是真命题；④命题p∨(綈q)是假命题．其中正确的是()A．②④B．②③C．③④D．①②③解析：对于命...
