高一数学函数的单调性与奇偶性综合人教实验B版【本讲教育信息】一.教学内容：函数的单调性与奇偶性综合二.学习目标1.巩固函数单调性、奇偶性的概念；2.进一步加强化归转化能力的训练，培养推理能力。三.知识要点1.奇函数和偶函数的概念设函数y=f（x）的定义域为D，且D关于原点对称.（1）如果对于函数f（x）的定义域D内任意一个x，都有f（－x）=－f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数.（2）如果对于函数f（x）的定义域D内任意一个x，都有f（－x）=f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数.定义还可以表达为：（1）如果对于函数f（x）的定义域D内任意一个x，都有f（x）+f（－x）=0，那么函数f（x）就叫做奇函数.（2）如果对于函数f（x）的定义域D内任意一个x，都有f（x）－f（－x）=0，那么函数f（x）就叫做偶函数.第二种表述形式能比较方便地判断函数的奇偶性，如判断函数的奇偶性.这种形式能从方程的角度看待函数的奇偶性，例如，若函数是奇函数，且定义域为D；则方程f（x）+f（－x）=0的解集为D；另一方面，若方程f（x）+f（－x）=0的解集D关于原点对称，则函数y=f（x）在D上是奇函数.对偶函数也可以得出类似的结论.2.奇函数和偶函数的图像特征（1）奇函数的图像关于原点对称，反过来，图像关于原点对称的函数，必是奇函数.（2）偶函数的图像关于y轴对称，反过来，图像关于y轴对称的函数，必是偶函数.3.判断函数的奇偶性对于函数f（x），先求其定义域D；并判别D是否关于原点对称，然后再验证f（－x）=±f（x）（或f（-x）±f（x）=0，或等）是否成立，最后得出正确结论.4.函数的奇偶性与单调性相结合，有以下两个结论：（1）奇函数在原点两侧的对称区间上有相同的单调性.（2）偶函数在原点两侧的对称区间上有相反的单调性.5.单调函数的定义（1）单调递增函数的定义：一般地，设函数的定义域为：如果对于属于内某个区间上的任意两个自变量的值、，当时都有，那么就说在这个区间上是增函数。（2）单调递减函数的定义：如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值、，当时都有△，那么就说在这个区间上是减函数。（3）单调性：如果函数在某个区间是增函数或减函数。那么就说函数用心爱心专心在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做的单调区间。在单调区间上增函数的图像是上升的，减函数的图像是下降的。说明：（1）函数的单调性是在函数的定义域或其子区间上的性质；（2）函数的单调性是对某个区间而言的，在某一点上不存在单调性；（3）函数单调性的定义中，实际上含有两层意思：①对于任意的，，若，有，则称在上是增函数；②若在上是增函数，则当时，就有.【典型例题】例1、已知，⑴判断的奇偶性；⑵证明.解：⑴的定义域为，它关于原点对称，又∴，∴为偶函数；⑵证明： 当时，，∴；当时，，∴.又为偶函数，∴，故当时，.综上可得：成立.例2、已知f（x）的定义域为（0，＋∞），且在其定义域内为增函数，满足f（xy）＝f（x）＋f（y），f（2）＝1，试解不等式f（x）－f（x－2）＞3.解：由f（2）＝1及f（xy）＝f（x）＋f（y）可得3f（2）＝3＝f（2）＋f（2）＋f（2）＝f（4）＋f（2）＝f（8）∴f（x）－f（x－2）＞3∴f（x）＞f（x－2）＋3＝f（x－2）＋f（8）＝f[8（x－2）]又函数f（x）在定义域（0，＋∞）上是增函数用心爱心专心∴)2(8020xxxx即2＜x＜716评述：（1）对于例1中求函数的单调区间时，必须首先考虑函数的定义域，再根据基本函数的单调性与“同为增，异为减”的原则判断复合函数的单调区间.（此例可在“对数函数”之后再结合教学）（2）例2是利用函数的单调性解不等式的重要应用，这类问题解决时要特别注意：必须首先考虑定义域，进而结合函数单调性去求不等式的解集.（3）要树立“定义域优先”的原则，即：在解题时必须时时考虑到.例3.（1）定义在上的奇函数为减函数，且，求实数的取值范围。（2）定义在上的偶函数，当时，为减函数，若成立，求的取值范围。解：（1） ∴ 奇函数∴又 在上为减函数，∴解得.（2）因为函数在上是偶函数，则，可得又当时，为减函数，得到解之得.例4、（1）已知函数若，求的值。解：构造函数，则一定是...
