高一数学函数的单调性与奇偶性综合人教实验B版【本讲教育信息】一.教学内容:函数的单调性与奇偶性综合二.学习目标1.巩固函数单调性、奇偶性的概念;2.进一步加强化归转化能力的训练,培养推理能力。三.知识要点1.奇函数和偶函数的概念设函数y=f(x)的定义域为D,且D关于原点对称.(1)如果对于函数f(x)的定义域D内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数.(2)如果对于函数f(x)的定义域D内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数.定义还可以表达为:(1)如果对于函数f(x)的定义域D内任意一个x,都有f(x)+f(-x)=0,那么函数f(x)就叫做奇函数.(2)如果对于函数f(x)的定义域D内任意一个x,都有f(x)-f(-x)=0,那么函数f(x)就叫做偶函数.第二种表述形式能比较方便地判断函数的奇偶性,如判断函数的奇偶性.这种形式能从方程的角度看待函数的奇偶性,例如,若函数是奇函数,且定义域为D;则方程f(x)+f(-x)=0的解集为D;另一方面,若方程f(x)+f(-x)=0的解集D关于原点对称,则函数y=f(x)在D上是奇函数.对偶函数也可以得出类似的结论.2.奇函数和偶函数的图像特征(1)奇函数的图像关于原点对称,反过来,图像关于原点对称的函数,必是奇函数.(2)偶函数的图像关于y轴对称,反过来,图像关于y轴对称的函数,必是偶函数.3.判断函数的奇偶性对于函数f(x),先求其定义域D;并判别D是否关于原点对称,然后再验证f(-x)=±f(x)(或f(-x)±f(x)=0,或等)是否成立,最后得出正确结论.4.函数的奇偶性与单调性相结合,有以下两个结论:(1)奇函数在原点两侧的对称区间上有相同的单调性.(2)偶函数在原点两侧的对称区间上有相反的单调性.5.单调函数的定义(1)单调递增函数的定义:一般地,设函数的定义域为:如果对于属于内某个区间上的任意两个自变量的值、,当时都有,那么就说在这个区间上是增函数。(2)单调递减函数的定义:如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值、,当时都有△,那么就说在这个区间上是减函数。(3)单调性:如果函数在某个区间是增函数或减函数。那么就说函数用心爱心专心在这一区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做的单调区间。在单调区间上增函数的图像是上升的,减函数的图像是下降的。说明:(1)函数的单调性是在函数的定义域或其子区间上的性质;(2)函数的单调性是对某个区间而言的,在某一点上不存在单调性;(3)函数单调性的定义中,实际上含有两层意思:①对于任意的,,若,有,则称在上是增函数;②若在上是增函数,则当时,就有.【典型例题】例1、已知,⑴判断的奇偶性;⑵证明.解:⑴的定义域为,它关于原点对称,又∴,∴为偶函数;⑵证明: 当时,,∴;当时,,∴.又为偶函数,∴,故当时,.综上可得:成立.例2、已知f(x)的定义域为(0,+∞),且在其定义域内为增函数,满足f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=1,试解不等式f(x)-f(x-2)>3.解:由f(2)=1及f(xy)=f(x)+f(y)可得3f(2)=3=f(2)+f(2)+f(2)=f(4)+f(2)=f(8)∴f(x)-f(x-2)>3∴f(x)>f(x-2)+3=f(x-2)+f(8)=f[8(x-2)]又函数f(x)在定义域(0,+∞)上是增函数用心爱心专心∴)2(8020xxxx即2<x<716评述:(1)对于例1中求函数的单调区间时,必须首先考虑函数的定义域,再根据基本函数的单调性与“同为增,异为减”的原则判断复合函数的单调区间.(此例可在“对数函数”之后再结合教学)(2)例2是利用函数的单调性解不等式的重要应用,这类问题解决时要特别注意:必须首先考虑定义域,进而结合函数单调性去求不等式的解集.(3)要树立“定义域优先”的原则,即:在解题时必须时时考虑到.例3.(1)定义在上的奇函数为减函数,且,求实数的取值范围。(2)定义在上的偶函数,当时,为减函数,若成立,求的取值范围。解:(1) ∴ 奇函数∴又 在上为减函数,∴解得.(2)因为函数在上是偶函数,则,可得又当时,为减函数,得到解之得.例4、(1)已知函数若,求的值。解:构造函数,则一定是...