2015高中数学3.1.1两角差的余弦公式课件3新人教A版必修4VIP免费

小明在作业中遇到了一个问题，需要求cos15°的值，可惜忘记带计算机了，怎么办呢？小明不假思索就很快的写出了如下做法。解：∵cos15°=cos(45°-30°)=cos45°-cos30°=232你认为他做对了吗？探究：如何用任意角α，β的正弦、余弦值来表示cos(α-β)呢？你认为公式会是cos(α-β)=cosα-cosβ吗？怎样联系单位圆上的三角函数线来探索公式？思考1：如图，设α，β为锐角，且α＞β，角α的终边与单位圆的交点为P1,∠P1OP＝β，那么cos(α－β)表示哪条线段长？MPP1Oxycos(α－β)=OM思考2：如何用线段分别表示sinβ和cosβ？PP1OxyAsinβcosβ思考3：cosαcosβ＝OAcosα，它表示哪条线段长？sinαsinβ＝PAsinα，它表示哪条线段长？PP1OxyAsinαsinβcosαcosβBC思考4：利用OM＝OB＋BM＝OB＋CP可得什么结论？sinαsinβcosαcosβPP1OxyABCMcos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβxyPP1MBOACsincoscoscossinsin+11上述推理能说明对任意角α，β，都有cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ成立吗？怎样联系向量的数量积去探索公式？-111-1α-βBAyxoβαcossinOA�α,αcossinOB�β,β)cos(OBOAOBOA)cos(OBOAsinsincoscos∵∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ思考：如图，设角α，β的终边与单位圆的交点分别为A、B，则向量、的坐标分别是什么？其数量积是什么？ΟΑΟB对于任意角α、β都有cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ(C(α－β))此公式给出了任意角α、β的正弦、余弦值与其差角α－β的余弦值之间的关系．称为差角的余弦公式．记作：C(α－β)．分析：怎样把15°表示成两个特殊角的差？变式：求sin75°的值.例1：利用差角余弦公式求cos15°的值．解：cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30°√3212√64√2+√22=×+×=√221．利用公式C(α-β)证明：(2)cos(2-α)=cosα．(1)cos(-α)=sinα;2证明：(1)左边=coscosα+sinsinα22=0×cosα+1×sinα=sinα=右边(2)左边=cos2cosα+sin2sinα=1×cosα+0×sinα=cosα=右边分析：由C(α-β)和本题的条件，要计算cos(α-β)，还应求什么？cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ已知已知应求应求例2：已知sinα＝，α∈(，)，cosβ=-,β是第三象限角，求cos(α-β)的值．542135例2：已知sinα＝，α∈(，)，cosβ=-,β是第三象限角，求cos(α-β)的值．542135解：由sinα＝，α∈(，)，得542√cosα=-1-sin2α=-1-()2=-5453√又由cosβ=-，β是第三象限的角，得135√sinβ=-1-cos2β=-1-()2=-√1351312所以cos(α-β)=cosβcosα+sinβsinα=(-)×(-)+×(-)=-54541351356533思考：如果去掉这个条件，对结果和求解过程会有什么影响？2．已知cosα=-，α∈(，)，求cos(-α)的值．532444原式=coscosα+sinsinα√sinα=1-cos2α=1-(-)2=5354√解：由cosα=-，α∈(，)，得53245√22=×(-)+×=√2253√2103．已知sinθ=，θ是第二象限角，求cos(θ-)的值．1715333原式=cosθcos+sinθsin解：由sinθ=，θ是第二象限角，得1715√cosθ=-1-sin2θ=-1-()2=-√1715178√321234√3-8+15=-×+×=1781715原式=cosβcosα+sinβsinα4．已知sinα=-，α∈(，)，cosβ=，β∈(，2)，求cos(β-α)的值．32234323解：由sinα=-，α∈(，)，得3223√cosα=-1-sin2α=-1-(-)2=-32√√53由cosβ=，β∈(，2)，得4323√sinβ=-1-cos2β=-1-()2=-43√√7412=×(-)+(-)×(-)=√5343√7432√5√7-3+2思考题：已知α，β均为锐角，且α>β，cosα=，cos(α-β)=，求cosβ的值．53√31010＝cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)cosβ＝cos[α-(α-β)]．解：cosα=，sin(α-β)＝．√101054√105013＝作业：P1271,2,3,4小结1.在差角的余弦公式的形成过程中，蕴涵着丰富的数学思想、方法和技巧，如数形结合，化归转换、归纳、猜想、构造、换元、向量等，我们要深刻理解和领会.2.已知一个角的正弦（或余弦）值，求该角的余弦（或正弦）值时,要注意该角所在的象限，从而确定该角的三角函数值符号.小结作业