正弦定理、余弦定理【课前复习】1．会做了，学习新课才能有保障．（1）在下列说法中，不正确的是（）A．长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量B．长度相等的向量叫做相等向量C．＋＝D．已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则a·b＝|a|·|b|·cosθ（2）已知两个非零向量a和b的夹角为θ，则θ的取值范围是（）A．0°≤θ<180°B．0°≤θ≤180°C．0°≤θ<360°D．0°<θ≤180°2．先看书，再来做一做．（1）在△ABC中，已知b＝，∠A＝45°，∠B＝60°，则a＝_____．（2）如图5－9－1，△ABC为锐角三角形，过点B作单位向量j垂直于，则j与的夹角为_____，j与的夹角为_____．图5－9－1【学习目标】（1）掌握正弦定理的定义，初步运用正弦定理解斜三角形．（2）理解用向量方法推导正弦定理的过程，进一步巩固向量知识，体现向量的工具性．【基础知识精讲】本课时内容是正弦定理，用向量方法推导证明正弦定理．重点是正弦定理的定义，正弦定理的证明和理解．难点是正弦定理的证明．1．正弦定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．即：．课本首先从直角三角形出发，得到正弦定理的关系式；然后通过设问过渡到斜三角形．与传统处理方法不同的是，课本是用向量知识推导正弦定理的，充分体现了向量的工具性．下面给出正弦定理的推导证明：（1）在直角三角形ABC中证明正弦定理：如图5－9－2：已知BC＝a，AB＝c，AC＝b，则有sinA＝sinC＝1，即c＝，∴．用心爱心专心115号编辑图5－9－2（2）在锐角三角形ABC中证明正弦定理：如图5－9－3：三角形ABC为锐角三角形，过点A作单位向量j垂直于，则j与的夹角为90°－A，j与的夹角为90°－C，由向量知识，＋＝．图5－9－3为了与图中有关角的三角函数建立联系，在向量等式两边同取与向量j的数量积运算，得到：j·（＋）＝j·，由分配律得：j·＋j·＝j·∴|j|||cos90°＋|j|||cos（90°－C）＝|j|||cos（90°－A）．∴asinC＝csinA，∴①同理，过点C作单位向量i垂直于，则i与的夹角为90°－C，i与的夹角为90°－B，在向量等式＋＝两边同取与向量i的数量积运算，得：i·（＋）＝i·，由分配律得：i·＋i·＝i·∴|i|||cos（90°－C）＋|i|||cos90°＝|i|||cos（90°－B）∴b·sinC＝c·sinB，∴②由①和②得：＝．（3）当三角形ABC为钝角三角形时，同样方法可证得：．综上所述，对于直角三角形、锐角三角形、钝角三角形来说，正弦定理均成立．2．数学思想在定理证明中的应用课本以向量方法进行定理推证，体现向量的工具性，并贯穿始终，利用平面向量的数量积可以把三角形的边长与内角的三角函数联系起来，以向量作为数形结合的工具，把几何问题转化为代数运算，是用代数方法解决几何问题的典型内容．在定理的推导中还运用了分类讨论的方法，以及从特殊到一般的方法，把在直角三角形中得到的关系式先推广到锐角三角形，然后推广到钝角三角形．在本课时学习中，需要注意的问题是：怎样理解正弦定理？用心爱心专心115号编辑（1）首先会用文字叙述定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即：．（2）从表达式的结构看，正弦定理所表达的边与对角的正弦的比是严格的对边与对角的正弦比，这种对应关系是严谨的，也是和谐的，它体现了数学的一种和谐美．（3）从方程的观点看，正弦定理可看作是三个方程，的合并，每个方程都会有四个量，知道其中三个就可求第四个量，这样利用正弦定理可解决已知两角和一边或已知两边和其中一边的对角问题．在钝角三角形中怎样用向量方法证明正弦定理？如图5－9－4：三角形ABC为钝角三角形，过点A作单位向量j垂直于，则j与的夹角为A－90°，j与的夹角为90°－C，由向量知识，＋＝．图5－9－4在向量等式两边同取与向量j的数量积运算，得：j·（＋）＝j·．由分配律得：j·＋j·＝j·．∴|j|||cos90°＋|j|||cos（90°－C）＝|j|||cos（A－90°）∴a·sinC＝c·sinA，∴①同理，过点C作单位向量i垂直于，则i与的夹角为90°－B，i与的夹角为90°－C，在向量等式＋＝两边同取与向量i的数量积运算，得：i·（＋）＝i·，由分配律得：i·＋i·＝i·．∴|i|||cos（90°－C）＋|i|||...
