研究性课题：杨辉三角●教学目标(一)教学知识点1.理解二项式定理中二项式系数与组合数的关系.2.理解杨辉三角和二项式系数.3.有关二项式系数的性质(即杨辉三角性质)(二)能力训练要求1.会运用杨辉三角中的有关性质证明或求解有关组合数问题2.具有一定的代数逻辑推理的计算能力，数式变换能力.3.观察问题，概括问题证明问题的能力.(三)德育渗透目标1.培养学生学会提出问题、明确探究方向、体验数学活动的过程.2.培养学生创新精神、探索精神和应用能力，鼓励学生大胆猜想.3.加强对学生的爱国主义教育，激励学生的民族自豪感和为国富民强而勤奋学习的精神.●教学重点杨辉三角的基本性质的探索和发现是本节课的教学重点.杨辉三角中蕴含着许多有趣的数量关系，它与排列、组合与概率的知识结合起来.事实上，许多重要的数学公式都跟组合数有关，因此，适当记住杨辉三角的一些性质，对于发现某些数学规律是不无帮助的.●教学难点杨辉三角中的性质是本节课的教学难点，用数学归纳法证明二项式定理，也是一个难点，由于杨辉三角中有许多有趣的数量关系，究竟有什么样的关系，要利用从特殊到一般的归纳、猜想与证明的方法来突破难点.●教学方法建构主义观点在高中数学课堂教学中的实践的教学方法，因为杨辉三角中的许多性质不是轻易能发现的，从一般的情况求解显得枯燥无味，而本节也是研究性课题，在教学中采用“特殊→一般”的科学思维方法，让学生讨论研究，从中发现问题，提出问题，最后利用所学的知识解决问题.让每个学生都参与教学的全过程，让他们都是智力参与.这样学生对杨辉三角性质有了主动建构的基础.●教具准备实物投影仪(或幻灯机，幻灯片)，学生的讨论成果展示.●教学过程Ⅰ.课题导入［师］在第十章，我们在学习二项式定理时，已经简单介绍了杨辉三角的问题.(幻灯片或多媒体)早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里记载着类似下面的表：用心爱心专心115号编辑图2—7这个表称为杨辉三角，在《详解九章算法》一书里，还说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和，杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪(约公元11世纪)已经用过它，这表明我国发现这个表不晚于11世纪，在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡(BlaisePascal，1623年~1662年)首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角，这就是说，杨辉三角的发现是比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.(这段文字由学生齐读，目的在于让他们了解中华民族文化的辉煌，激励他们立志为中华民族伟大复兴而读书)［师］鉴于杨辉在数学上的伟大贡献，今天我们特此专门来研究杨辉三角的有关数量关系(板书课题，研究性课题：杨辉三角)Ⅱ.讲授新课［师］一般的杨辉三角如下：其中.［师］在学习二项式定理时，我们知道，杨辉三角的第n行就是二项式(a+b)n展开式的系数请同学们回顾一下，二项式定理的内容是什么？［生］(a+b)n=.［师］你们能证明这个定理吗？［生］利用定义证明：(a+b)n=(a+b)·(a+b)·(a+b)·…·(a+b).(n个括号).等号右边的积的展开式的每一项，是从每个括号里任取一个字母的乘积，因而各项都是n次式，即展开式应有下面形式的各项.an，an－1b，an－2b2，…，an－rbr，…，bn.现在来看一看上面各项在展开式中出现的次数，也就是看展开式中各项的系数是什么，用心爱心专心115号编辑在上面n个括号中：每个都不取b的情况有1种，即种，所以an的系数为;恰有1个取b的情况有种，所以an－1·b的系数为;恰有2个取b的情况有种，所以an－2·b2的系数为;……恰有(n－1)个取b的情况有种，所以abn－1的系数为;n个都取b的情况有种，所以bn的系数为因此，.［师］这种定义法证明固然是好，但不能代表更广泛的意义？你们能用其他方法给予证明吗？［生］用数学归纳法证明:(1)n=1时，左边=(a+b)1=a+b，展开式的系数为1，1.而右边，∴左边=右边，∴n=1时等式成立.(2)假设当n=k时等式成立，即.当n=k+1时，(a+b)k+1=(a+b)k(a+b)利用，得到这就是说，如果n=k时等式成立，那么n=k+1时等式也成立.根据(1)和(2)，可知对于任意正整数n，等式都成立.这样，我们就证明了二项...
