抛物线的标准方程教学目标（1）掌握抛物线的定义，标准方程及其推导过程；（2）掌握抛物线的四种标准方程形式及其对应的焦点和准线，能根据已知条件求抛物线的标准方程；（3）培养学生数形结合，分类讨论的思想．教学重点，难点(1)抛物线的定义、四种标准方程形式及其对应的焦点和准线；(2)灵活运用定义和待定系数法求抛物线的标准方程．教学过程一．问题情境１．情景：探照灯的内壁是由抛物线旋转而成的，一些太阳灶轴截面的外轮廓线是抛物线，许多现代通讯设备的接受器和发射器造型也与抛物线有关．2．问题：在前面我们已经系统地学习了椭圆、双曲线的标准方程，那么，抛物线的标准方程是什么形式呢？二．学生活动抛物线是平面内到一个定点和一条直线（不在上）距离相等的点的轨迹，点叫做焦点，叫做准线．下面，我们来建立抛物线的方程．过作直线直线，垂足为．以直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立如图所示的直角坐标系．设焦点到准线的距离为，则．又设为抛物线上任意一点．作，垂足为，则，得．将上式两边平方并化简，得．用心爱心专心xyFlNHP(x,y)0由上述过程可知，抛物线上的点都满足上面这个方程，并且满足上面这个方程的点都在已知的抛物线上．这样就得到所求的抛物线方程，它的焦点为，准线是．其中为正常数，它的几何意义是:焦点到准线的距离．三．建构数学1．类似地，我们可以建立如下表所示的坐标系，从而得到抛物线方程的另外三种形式，，．这四种方程都叫做抛物线的标准方程．标准方程图形焦点坐标准线方程开口方向向右向左向上向下2．四个标准方程的区分：焦点在一次项字母对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定．当系数为正时，开口向坐标轴的正方向；系数为负时，开口向坐标轴的负方向．四．数学运用1．例题：例1．求抛物线的焦点坐标和准线方程．解：因为，即，所以抛物线的焦点坐标为，准线方程为．变式：求抛物线的焦点坐标和准线方程．用心爱心专心解：当时，，，焦点，准线方程为．当时，．因为，所以．焦点为，即，准线方程为．综上所述焦点坐标，准线方程为．例2．求满足下列条件的抛物线的标准方程：（1）过点；（2）焦点在直线上．解：（1）如图，因为点在第三象限，所以满足条件的抛物线的标准方程有两种情形和．分别将点的坐标代入方程可以解得，．因此，满足条件的抛物线有两条，它们的方程分别为和．(2)直线与轴的交点为，与轴的交点为，故抛物线的焦点为或．当焦点为时，设抛物线方程为，，．所以抛物线方程为．当焦点为时，设抛物线方程为，，．所以抛物线方程为．例3．点与点的距离比它到直线的距离小1，求点的轨迹方程奎屯王新敞新疆解析：可知原条件点到和到距离相等，由抛物线的定义，点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线．∴∴所求方程是．用心爱心专心xyP0五．回顾小结：1．抛物线的定义、四种标准方程形式及其对应的焦点和准线；2．灵活运用定义和待定系数法求抛物线的标准方程；3．注重数形结合的思想；4．注重分类讨论的思想．用心爱心专心
