高中数学3.3.2 利用导数研究函数的极值(2)VIP免费

§3.3.2利用导数研究函数的极值(2)要点精讲掌握函数f(x)（定义在[a，b]上且在(a，b)内可导）的最大值与最小值的求法结合函数图象，直观理解函数最大、小值的概念，熟练掌握利用导数求函数最大、小值的方法，并能利用导数解决实际生活中的一些最大、小值问题．典型题解析【例1】已知a为实数，．（Ⅰ）求导数；（Ⅱ）若，求在[－2，2]上的最大值和最小值；（Ⅲ）若在（－∞，－2和[2，＋∞上都是递增的，求a的取值范围．【分析】本题是典型的用导数法求最大值及最小值问题，基本思路为：（1）求导函数f′(x)；（2）求方程f′(x)=0的根；（3）检查f′(x)在方程根左右的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．求闭区间上函数最值的方法：比较极值与区间端点处函数值的大小．【解】(Ⅰ)由原式得∴(Ⅱ)由得，此时有．由得或x=－1，又所以f(x)在[－2，2]上的最大值为最小值为(Ⅲ)解法一:的图象为开口向上且过点(0，－4)的抛物线，由条件得即∴－2≤a≤2．所以a的取值范围为[－2，2]．解法二:令即由求根公式得:所以在和上非负．由题意可知，当x≤－2或x≥2时，≥0，从而x1≥－2，x2≤2，即解不等式组得:－2≤a≤2，∴a的取值范围是[－2，2]．【例2】已知函数是R上的奇函数，当时取得极值．（1）求的单调区间和极大值；（2）证明对任意，，不等式恒成立．【分析】本题主要考查函数的性质、导数在研究函数性质中的应用和函数性质在不等式中的应用等基础知识，以及运算推理能力．首先要根据函数的奇偶性和极值性，求出待定常数a，c，d．求函数的单调区间和极大值．讨论函数的单调性和极值性在解题的表达上有两种方式：一种是分析说理；另一种是列表说明．【解】（1）由奇函数的定义，应有，即∴因此，，用心爱心专心116号编辑∴，由条件为的极值，必有，故解得，，因此，，，，当时，，故在单调区间上是增函数当时，，故在单调区间上是减函数当时，，故在单调区间上是增函数，所以，在处取得极大值，极大值为（2）由（1）知，是减函数，且在上的最大值,在上的最小值，所以，对任意的，，恒有．【例3】求函数在[0，2]上的最大值和最小值．【分析】本题主要考查函数的导数计算，利用导数讨论函数的性质，判断函数的最大值、最小值以及综合运算能力．解题突破口：本题是典型的用导数法求最大值及最小值问题,基本思路为：1．求可导函数极值的步骤：（1）求导函数f′(x)；（2）求方程f′(x)=0的根；（3）检查f′(x)在方程根左右的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．2．求闭区间上函数最值的方法：比较极值与区间端点处函数值的大小．【解】 令化简为解得当单调增加；当单调减少．所以为函数的极大值．又因为所以为函数在[0，2]上的最小值，为函数在[0，2]上的最大值．【例4】已知是函数的一个极值点，其中，（I）求与的关系式；（II）求的单调区间；（III）当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3，求的取值范围．【分析】由求出与的关系式.再求出函数的单调区间.【解】(I) 是函数的一个极值点∴,即∴（II）由（I）知，=用心爱心专心116号编辑当时，有，当变化时，与的变化如下表：100单调递减极小值单调递增极大值单调递减故有上表知，当时，在单调递减，在单调递增，在上单调递减．（III）解法一：由已知得，即 ∴即①设，其函数开口向上，由题意知①式恒成立，∴解之得又所以即的取值范围为解法二：由已知，得＞3，即3(－1)［－(1+)］＞3 ＜0,∴(－1)［－(1+)］＜1(*)1°=1时，(*)化为0＜1恒成立，∴＜02°≠1时， ［－1,1］，∴－2≤－1＜0,(*)式化为＜(－1)－令=－1，则［－2,0］，记，则在区间［－2,0］是单调增函数∴由(*)式恒成立，必有，又＜0，则综合1°、2°得．【例5】已知，讨论函数的极值点的个数．【分析】先求利用分类讨论的思想方法解决此类问题.【解】用心爱心专心116号编辑（1）当xx1+0－0+为极大值为极小值即此时有两个极值点．（2）当有两个相同的实根于是,无极值．（3）为增函数，此时无极值．因此当无极值点．规律总结1．求可导...