3.2一般形式的柯西不等式一、教学目标1．掌握三维形式和多维形式的柯西不等式．2．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题．二、课时安排1课时三、教学重点1．掌握三维形式和多维形式的柯西不等式．2．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题．四、教学难点1．掌握三维形式和多维形式的柯西不等式．2．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题．五、教学过程（一）导入新课已知实数x，y，z满足x＋2y＋z＝1，求t＝x2＋4y2＋z2的最小值．【解】由柯西不等式得(x2＋4y2＋z2)(1＋1＋1)≥(x＋2y＋z)2. x＋2y＋z＝1，∴3(x2＋4y2＋z2)≥1，即x2＋4y2＋z2≥.当且仅当x＝2y＝z＝，即x＝，y＝，z＝时等号成立．故x2＋4y2＋z2的最小值为.（二）讲授新课教材整理1三维形式的柯西不等式设a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，则(a＋a＋a)·(b＋b＋b)≥.当且仅当或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2,3)时，等号成立．我们把该不等式称为三维形式的柯西不等式．教材整理2一般形式的柯西不等式设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥.当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝(i＝1,2，…，n)时，等号成立．（三）重难点精讲题型一、利用柯西不等式求最值例1已知a，b，c∈(0，＋∞)，＋＋＝2，求a＋2b＋3c的最小值及取得最小值时a，b，c的值．【精彩点拨】由于＋＋＝2，可考虑把已知条件与待求式子结合起来，利用柯西不等式求解．【自主解答】 a，b，c∈(0，＋∞)，∴·(a＋2b＋3c)＝[＋＋][()2＋()2＋()2]≥＝(1＋2＋3)2＝36.又＋＋＝2，∴a＋2b＋3c≥18，当且仅当a＝b＝c＝3时等号成立，综上，当a＝b＝c＝3时，a＋2b＋3c取得最小值18.规律总结：利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的条件．[再练一题]1．已知x＋4y＋9z＝1，求x2＋y2＋z2的最小值．【解】由柯西不等式，知(x＋4y＋9z)2≤(12＋42＋92)(x2＋y2＋z2)＝98(x2＋y2＋z2)．又x＋4y＋9z＝1，∴x2＋y2＋z2≥，(*)当且仅当x＝＝时，等号成立，∴x＝，y＝，z＝时，(*)取等号．因此，x2＋y2＋z2的最小值为.题型二、运用柯西不等式求参数的取值范围例2已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝xyz，且不等式＋＋≤λ恒成立，求λ的取值范围．【精彩点拨】“恒成立”问题需求＋＋的最大值，设法应用柯西不等式求最值．【自主解答】 x>0，y>0，z>0.且x＋y＋z＝xyz.∴＋＋＝1.又＋＋≤＝≤当且仅当x＝y＝z，即x＝y＝z＝时等号成立．∴＋＋的最大值为.故＋＋≤λ恒成立时，应有λ≥.因此λ的取值范围是.规律总结：应用柯西不等式，首先要对不等式形式、条件熟练掌握，然后根据题目的特点“创造性”应用定理．[再练一题]2．已知实数a，b，c，d满足a＋b＋c＋d＝3，a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，试求a的取值范围.【解】由a＋b＋c＋d＝3，得b＋c＋d＝3－a，由a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，得2b2＋3c2＋6d2＝5－a2，(2b2＋3c2＋6d2)≥(b＋c＋d)2，即2b2＋3c2＋6d2≥(b＋c＋d)2.由条件可得，5－a2≥(3－a)2，解得1≤a≤2，所以实数a的取值范围是[1,2]．题型三、利用柯西不等式证明不等式例3已知a，b，c∈R＋，求证：＋＋≥9.【精彩点拨】对应三维形式的柯西不等式，a1＝，a2＝，a3＝，b1＝，b2＝，b3＝，而a1b1＝a2b2＝a3b3＝1，因而得证．【自主解答】 a，b，c∈R＋，由柯西不等式，知＝[＋＋]×[＋＋]≥＝(1＋1＋1)2＝9，∴≥9.规律总结：1．当ai，bi是正数时，柯西不等式变形为(a1＋a2＋…＋an)(b1＋b2＋…＋bn)≥(＋＋…＋)2.2．本题证明的关键在于构造两组数，创造使用柯西不等式的条件．在运用柯西不等式时，要善于从整体上把握柯西不等式的结构特征，正确配凑出公式两侧的数组．[再练一题]3．已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]．(1)求m的值；(2)若a，b，c∈R＋，且＋＋＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.【解】(1)因为f(x＋2)＝m－|x|，f(x＋2)≥0等价于|x|≤m.由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}．又f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m＝1.(2)证明：由(1)知＋＋＝1.又a，b，c∈R＋，由柯西不等式得a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)≥＝9...
