第四课时两角和与差的余弦、正弦、正切(一)教学目标：掌握S（α±β），Ｃ（α±β)及T（α±β）的灵活应用，综合应用上述公式的技能；培养学生观察、推理的思维能力，使学生认识到事物间是有联系的，培养学生判断、推理的能力、加强化归转化能力的训练，提高学生的数学素质.教学重点：S（α±β），C（α±β），T（α±β）的灵活应用.教学难点：灵活应用和、差角公式进行化简、求值、证明.教学过程：Ⅰ.复习回顾请同学们回顾一下这一段时间我们一起所学的和、差角公式.sin（α±β）＝sinαcosβ±cosαsinβ(S（α±β））cos（α±β）＝cosαcosβsinαsinβ(C（α±β））tan（α±β）＝（T（α±β））Ⅱ.讲授新课这三个公式即为两角和(差)公式.下面请同学们思考这一组公式的区别与联系.首先，可考虑一下这组公式的推导体系.我们为推导这组公式先引入平面内两点间距离公式，然后利用单位圆，三角函数的定义，最先推导出余弦的和角公式Ｃ（α＋β），然后按如下顺序推导其余公式：Ｃ（α＋β）→Ｃ（α－β）→S（α＋β）→S（α－β）→T（α＋β）→T（α－β）.它们又有什么内在联系呢?下面，结合例题来看一下如何灵活运用这组公式：［例1］求证＝1－分析：证明三角恒等式，一般要遵循“由繁到简”的原则，另外“化弦为切”与“化切为弦”也是在三角式的变换中经常使用的方法.证明：左边＝＝＝1－＝1－＝右边，∴原式成立.或：右边＝1－＝＝＝＝左边∴原式成立.［例2］已知sinβ＝m·sin（2α＋β），求证：tan（α＋β）＝tanα分析：仔细观察已知式与所证式中的角，不要盲目展开，要有的放矢，看到已知式中的2α＋β可化为结论式中的α＋β与α的和，不妨将α＋β作为一整体来处理.证明：由sinβ＝msin（2α＋β）sin［（α＋β）－α］＝ｍsin［（α＋β）＋α］sin（α＋β）cosα－cos（α＋β）sinα＝ｍ［sin（α＋β）cosα＋cos（α＋β）sinα］55（1－m）·sin（α＋β）cosα＝（1＋m）·cos（α＋β）sinαtan（α＋β）＝tanα评述：此方法是综合法，利用综合法证明恒等式时，必须有分析的基础，才能顺利完成证明.［例3］求tan70°＋tan50°－tan50°tan70°的值.分析：观察所求式子，联想有关公式T（α＋β），注意到它的变形式：tanα＋tanβ＝tan（α＋β）（1－tanαtanβ）.运用之可求解.解：原式＝tan（70°＋50°）（1－tan70°tan50°）－tan50°tan70°＝－（1－tan70°tan50°）－tan50°tan70°＝－＋tan70°tan50°－tan50°tan70°＝－∴原式的值为－.Ⅲ.课堂练习1.化简下列各式：(1)cos（α＋β）cosβ＋sin（α＋β）sinβ(2)－－sinx－cosx解：(1)cos（α＋β）cosβ＋sin（α＋β）sinβ＝cos［（α＋β）－β］＝cosα这一题可能有些学生要将cos（α＋β）与sin（α＋β）按照两角和的正、余弦公式展开，从而误入歧途，老师可作适当提示，让学生仔细观察此题结构特征，就整个式子直接运用公式以化简.(2)－－sinx－cosx＝－－sinx－cosx＝－－（sinx＋cosx）＝－（sinx＋cosx）＝0这一题目运用了解三角函数题目时常用的方法“切割化弦”.2.证明下列各式(1)＝(2)tan（α＋β）tan（α－β）（1－tan2αtan2β）＝tan2α－tan2β(3)－2cos（α＋β）＝证明：(1)右边＝＝＝＝左边(2）左边＝tan（α＋β）tan（α－β）（1－tan2αtan2β）＝××（1－tan2αtan2β）＝×（1－tan2αtan2β）＝tan2α－tan2β＝右边(3)左边＝－2cos（α＋β）＝＝＝＝＝右边563.(1)已知sin（α＋45°）＝，45°＜α＜135°，求sinα.(2)求tan11°＋tan34°＋tan11°tan34°的值.解：(1)∵45°＜α＜135°，∴90°＜α＋45°＜180°又∵sin（α＋45°）＝，∴cos（α＋45°）＝－∴sinα＝sin［（α＋45°）－45°］＝sin（α＋45°）cos45°－cos（α＋45°）sin45°＝×＋×＝这题若仔细分析已知条件，可发现所给α的取值范围不能确定cosα的取值，所以需要将α化为（α＋45°）－45°，整体运用α＋45°的三角函数值，从而求得sinα的值.（2）tan11°＋tan34°＋tan11°tan34°＝tan（11°＋34°）（1－tan11°tan34°）＋tan11°tan34°＝tan45°（1－tan11°tan34°）＋tan11°tan34°＝1－tan11°tan34°＋tan11°tan34°＝1注意运用公式的等价变形式.Ⅳ.课时小结通过本节学习，大家应初步掌握和、差角公式的基本运用.Ⅴ.课后作业课本P1065，6，7，857
