高中数学 第三章 直线与方程 3.2 直线的方程（第3课时）直线的一般式方程讲义（含解析）新人教A版必修2-新人教A版高一必修2数学教案VIP免费

第3课时直线的一般式方程[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P97～P99，回答下列问题：(1)平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？为什么？提示：都可以，原因如下：(1)直线和y轴相交于点(0，b)时：此时倾斜角α≠，直线的斜率k存在．直线可表示成y＝kx＋b，可转化为kx＋(－1)y＋b＝0，这是关于x，y的二元一次方程．(2)直线和y轴平行(包含重合)时：此时倾斜角α＝，直线的斜率k不存在，不能用y＝kx＋b表示，而只能表示成x－a＝0，它可以认为是关于x，y的二元一次方程，此时方程中y的系数为0.(2)每一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)都能表示一条直线吗？为什么？提示：能表示一条直线，原因如下：当B≠0时，方程Ax＋By＋C＝0可变形为y＝－x－，它表示过点，斜率为－的直线．当B＝0时，方程Ax＋By＋C＝0变成Ax＋C＝0.即x＝－，它表示与y轴平行或重合的一条直线．(3)在方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)中，A，B，C为何值时，方程表示的直线①平行于x轴；②平行于y轴；③与x轴重合；④与y轴重合．提示：当A＝0，B≠0时，方程变为y＝－，当C≠0时表示的直线平行于x轴，当C＝0时与x轴重合；当A≠0，B＝0时，方程变为x＝－，当C≠0时表示的直线平行于y轴，当C＝0时与y轴重合．2．归纳总结，核心必记直线的一般式方程(1)定义：关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．(2)适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示．(3)系数的几何意义：当B≠0时，则－＝k(斜率)，－＝b(y轴上的截距)；当B＝0，A≠0时，则－＝a(x轴上的截距)，此时不存在斜率．[问题思考]当A＝0，或B＝0，或C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0分别表示什么样的直线？提示：(1)若A＝0，则y＝－，表示与y轴垂直的一条直线．(2)若B＝0，则x＝－，表示与x轴垂直的一条直线．(3)若C＝0，则Ax＋By＝0，表示过原点的一条直线．[课前反思]通过以上预习，必须掌握的几个知识点．(1)直线方程的一般式的形式是什么？；(2)直线方程的一般式的适用范围是什么？；(3)直线方程的一般式中各系数的几何意义是什么？.观察下列直线方程直线l1：y－2＝3(x－1)；直线l2：y＝3x＋2；直线l3：＝；直线l4：＋＝1.[思考1]上述形式的直线方程能化成二元一次方程Ax＋By＋C＝0的形式吗？提示：能．[思考2]二元一次方程Ax＋By＋C＝0都能表示直线吗？提示：能．[思考3]怎样认识直线方程的一般式？名师指津：解读直线方程的一般式：(1)方程是关于x，y的二元一次方程．(2)方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列．(3)x的系数一般不为分数和负数．(4)虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程．[思考4]二元一次方程与直线的关系是什么？名师指津：二元一次方程与直线的关系：(1)二元一次方程的每一组解都可以看成平面直角坐标系中一个点的坐标，这个方程的全体解组成的集合，就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合，这些点的集合就组成了一条直线．(2)二元一次方程与平面直角坐标系中的直线是一一对应的，因此直线的一般式方程可以表示坐标平面内的任意一条直线．讲一讲1．根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式．(链接教材P98－例5)(1)斜率是－，经过点A(8，－2)；(2)经过点B(4,2)，平行于x轴；(3)在x轴和y轴上的截距分别是、－3；(4)经过两点P1(3，－2)，P2(5，－4)．[尝试解答]选择合适的直线方程形式．(1)由点斜式得y－(－2)＝－(x－8)，即x＋2y－4＝0.(2)由斜截式得y＝2，即y－2＝0.(3)由截距式得＋＝1，即2x－y－3＝0.(4)由两点式得＝，即x＋y－1＝0.求直线一般式方程的策略(1)当A≠0时，方程可化为x＋y＋＝0，只需求，的值；若B≠0，则方程化为x＋y＋＝0，只需确定，的值．因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程．(2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式．练一练1．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．(1)斜率是且经过点A(5,3)；(2)经过A(...