高中数学 第三章 直线与方程 3.2 直线的方程（第2课时）直线的两点式方程讲义（含解析）新人教A版必修2-新人教A版高一必修2数学教案VIP免费

第2课时直线的两点式方程[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P95～P97，回答下列问题：某区商业中心O有通往东、西、南、北的四条大街，某公园位于东大街北侧、北大街东P处，如图所示．公园到东大街、北大街的垂直距离分别为1km和4km.现在要在公园前修建一条直线大道分别与东大街、北大街交汇于A、B两处，并使区商业中心O到A、B两处的距离之和最短．(1)在上述问题中，实际上解题关键是确定直线AB，那么直线AB的方程确定后，点A、B能否确定？提示：可以确定．(2)根据上图知建立平面坐标系后，A、B两点的坐标值相当于在x轴、y轴上的什么量？提示：在x轴、y轴上的截距．(3)那么若已知直线在坐标轴的截距可以确定直线方程吗？提示：可以．2．归纳总结，核心必记(1)直线的两点式方程①定义：如图所示，直线l经过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)，则方程＝，叫做直线l的两点式方程，简称两点式．②说明：与坐标轴垂直的直线没有两点式方程．(2)直线的截距式方程①定义：如图所示，直线l与两坐标轴的交点分别是P1(a,0)，P2(0，b)(其中a≠0，b≠0)，则方程为＋＝1，叫做直线l的截距式方程，简称截距式．②说明：一条直线与x轴的交点(a,0)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距．与坐标轴垂直和过原点的直线均没有截距．(3)中点坐标公式若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，且线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则有此公式为线段P1P2的中点坐标公式．[问题思考](1)方程＝和方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)的适用范围相同吗？提示：不同．前者为分式形式方程，形式对称，但不能表示垂直于坐标轴的直线．后者为整式形式方程，适用于过任何两点的直线方程．(2)方程－＝1和＋＝－1都是直线的截距式方程吗？提示：都不是截距式方程．截距式方程的特点有两个，一是中间必须用“＋”号连接，二是等号右边为1.[课前反思]通过以上预习，必须掌握的几个知识点．(1)直线的两点式方程是什么？怎样求？；(2)直线的截距式方程是什么？怎样求？；(3)中点坐标公式是什么？.观察下面坐标系中的直线，思考如下问题：[思考1]怎样利用点P1，P2的坐标写出直线l的方程？名师指津：可利用两点坐标求出直线的斜率，再利用点斜式求出其方程．[思考2]给定两点A(x1，y1)，B(x2，y2)是否就可以用两点式写出直线AB的方程？名师指津：不一定．只有在x1≠x2，y1≠y2的前提下才能写出直线的两点式．当x1＝x2时，直线方程为x＝x1；当y1＝y2时，直线方程为y＝y1.所以，直线的两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，但如果将方程变形为：(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)，它是两点式的变形，可以表示任何直线，包括与坐标轴垂直的直线．[思考3]直线的两点式方程能用＝(x1≠x2，y1≠y2)代替吗？名师指津：方程＝所表示的图形不含点(x1，y1)，故不能表示整条直线，故不能用其代替两点式方程．讲一讲1．已知A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中，(链接教材P96—例4)(1)求BC边的方程；(2)求BC边上的中线所在直线的方程．[尝试解答](1) BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)，∴由两点式得＝，即2x＋5y＋10＝0.故BC边的方程为2x＋5y＋10＝0(0≤x≤5)．(2)设BC的中点为M(x0，y0)，则x0＝＝，y0＝＝－3.∴M，又BC边上的中线经过点A(－3,2)．∴由两点式得＝，即10x＋11y＋8＝0.故BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0.求直线的两点式方程的策略以及注意点(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．练一练1．已知△ABC三个顶点坐标A(2，－1)，B(2,2)，C(4,1)，求三角形三条边所在的直线方程．解： A(2，－1)，B(2,2)，A、B两点横坐标相同，∴直线AB与x轴垂直，故其方程为x＝2. A(2，－1)，C(4,1)，由直线方程的两点式可得直线AC的方程为＝，即x－y－3＝0.同理可由直线方程的两点式得直线BC的方程为＝，即x＋2y－6＝0.观察下面坐标系...