第2课时函数奇偶性的应用(习题课)考点学习目标核心素养利用奇偶性求函数的解析式会利用函数的奇偶性求函数的解析式数学运算函数的奇偶性与单调性的综合问题能运用函数的单调性和奇偶性解决比较大小、求最值、解不等式等综合问题数学运算、逻辑推理利用奇偶性求函数的解析式若函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－2x－1，求函数f(x)的解析式．【解】当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝(－x)2－2(－x)－1＝x2＋2x－1，因为函数f(x)是奇函数，所以f(x)＝－f(－x)，所以x＜0时，f(x)＝－x2－2x＋1，故f(x)＝1．(变问法)在本例条件下，求f(－3)的值．解：因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝－(32－2×3－1)＝－2.2．(变条件)将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，其他条件不变，求当x＜0时，函数f(x)的解析式．解：当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝(－x)2－2(－x)－1＝x2＋2x－1，因为函数f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)，所以f(x)＝x2＋2x－1，即x＜0时，f(x)＝x2＋2x－1.利用奇偶性求函数解析式的思路(1)“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内．(2)利用已知区间的解析式代入．(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋2x，求函数f(x)，g(x)的解析式．解：因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，由f(x)＋g(x)＝2x＋x2.①用－x代替x得f(－x)＋g(－x)＝－2x＋(－x)2，所以f(x)－g(x)＝－2x＋x2，②(①＋②)÷2，得f(x)＝x2.(①－②)÷2，得g(x)＝2x.函数的奇偶性与单调性的综合问题角度一比较大小问题设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是()A．f(π)>f(－3)>f(－2)B．f(π)>f(－2)>f(－3)C．f(π)3>2，所以f(π)>f(3)>f(2)，故f(π)>f(－3)>f(－2)．【答案】A角度二解不等式已知定义在(－1，1)上的函数f(x)＝.(1)试判断f(x)的奇偶性及在(－1，1)上的单调性；(2)解不等式f(t－1)＋f(2t)＜0.【解】(1)因为f(x)＝，所以任取x∈(－1，1)，则－x∈(－1，1)，所以f(－x)＝＝－＝－f(x)．故f(x)＝为奇函数．任取x1，x2∈(－1，1)且x1＜x2，所以f(x2)－f(x1)＝－＝＝.因为x2－x1＞0，1－x1x2＞0且分母x＋1＞0，x＋1＞0，所以f(x2)＞f(x1)，故f(x)＝在(－1，1)上为增函数．(2)因为定义在(－1，1)上的奇函数f(x)是增函数，由f(t－1)＋f(2t)＜0，得f(t－1)＜－f(2t)＝f(－2t)．所以有即解得0＜t＜.故不等式f(t－1)＋f(2t)＜0的解集为.奇偶性与单调性综合问题的两种类型(1)比较大小①自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；②自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小．(2)解不等式①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)＜f(x2)或f(x1)＞f(x2)的形式；②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，脱掉不等式中的“f”转化为简单不等式(组)求解．1．(2019·泰安检测)设F(x)＝f(x)＋f(－x)，x∈R，若是函数F(x)的单调递增区间，则一定是F(x)的单调递减区间的是()A.B.C.D.解析：选B.因为F(－x)＝F(x)，所以F(x)是偶函数，因而在上F(x)一定单调递减．2．(2019·襄阳检测)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减，则满足f(2x－1)>f的实数x的取值范围是()A.B.C.D.解析：选A.因为偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减，且满足f(2x－1)>f，所以不等式等价为f(|2x－1|)>f，即|2x－1|<，所以－<2x－1<，计算得出0时，y＝x＋1，所以在(0，＋∞)上单调递增；另外函数y＝x3不是偶函数；y＝－x2＋1在(0...
