高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.4 全称量词与存在量词讲义（含解析）新人教A版选修1-1-新人教A版高二选修1-1数学教案VIP免费

预习课本P21～25，思考并完成以下问题1．全称量词、全称命题的定义是什么？2．存在量词、特称命题的定义是什么？3．全称命题与特称命题的否定分别是什么命题？1．全称量词与全称命题全称量词所有的、任意一个、一切、每一个、任给符号__∀__全称命题含有全称量词的命题形式“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)”2．存在量词与特称命题存在量词存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的符号表示__∃__特称命题含有存在量词的命题形式“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为“∃x0∈M，p(x0)”3．全称命题与特称命题的否定知识点原命题命题的否定全称命题p：∀x∈M，p(x)綈p：∃x0∈M，綈p(x0)的否定特称命题的否定p：∃x0∈M，p(x0)綈p：∀x∈M，綈p(x)[点睛](1)全称命题的否定全称命题的否定是一个特称命题，否定全称命题时关键是找出全称量词，明确命题所提供的性质．(2)特称命题的否定特称命题的否定是一个全称命题，否定特称命题时关键是找出存在量词，明确命题所提供的性质．1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在全称命题和特称命题中，量词都可以省略()(2)“有的等差数列也是等比数列”是特称命题()(3)“三角形内角和是180°”是全称命题()答案：(1)×(2)√(3)√2．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是()A．∀x∈R，|x|＋x2<0B．∀x∈R，|x|＋x2≤0C．∃x0∈R，|x0|＋x<0D．∃x0∈R，|x0|＋x≥0答案：C3．下列全称命题为真命题的是()A．所有的质数是奇数B．∀x∈R，x2＋1≥1C．对每一个无理数x，x2也是无理数D．所有的能被5整除的整数，其末位数字都是5答案：B4．命题p：∃x0∈R，x＋2x0＋5<0是________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)，它的否定为綈p：______________.答案：特称命题假∀x∈R，x2＋2x＋5≥0全称命题与特称命题的判断[典例]判断下列语句是全称命题，还是特称命题．(1)凸多边形的外角和等于360°；(2)有的向量方向不定；(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1；(4)矩形的对角线不相等；(5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．[解](1)可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称命题．(2)含有存在量词“有的”，故是特称命题．(3)含有全称量词“任意”，故是全称命题．(4)可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称命题．(5)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称命题．判断一个语句是全称命题还是特称命题的思路[注意]全称命题可能省略全称量词，特称命题的存在量词一般不能省略．[活学活用]用全称量词或存在量词表示下列语句：(1)不等式x2＋x＋1>0恒成立；(2)当x为有理数时，x2＋x＋1也是有理数；(3)等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ对有些角α，β成立；(4)方程3x－2y＝10有整数解．解：(1)对任意实数x，不等式x2＋x＋1>0成立．(2)对任意有理数x，x2＋x＋1是有理数．(3)存在角α，β，使sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．(4)存在一对整数x，y，使3x－2y＝10成立.全称命题、特称命题的真假判断[典例](1)下列命题中的假命题是()A．∃x0∈R，lgx0＝0B．∃x0∈R，tanx0＝1C．∀x∈R，x2>0D．∀x∈R，ex>0(2)下列命题中的真命题是()A．∀φ∈R，函数f(x)＝sin(2x＋φ)都不是偶函数B．∃α0，β0∈R，使cos(α0＋β0)＝cosα0＋cosβ0C．向量a＝(2,1)，b＝(－1,0)，则a在b方向上的投影为2D．“|x|≤1”是“x≤1”的既不充分又不必要条件[解析](1)对于A，x＝1时，lgx＝0；对于B，x＝kπ＋(k∈Z)时，tanx＝1；对于C，当x＝0时，x2＝0，所以C中命题为假命题；对于D，ex>0恒成立．(2)对于A，当φ＝时，f(x)＝cos2x，为偶函数，故A为假命题；对于B，令α0＝，β0＝－，则cos(α0＋β0)＝cos＝，cosα0＋cosβ0＝＋0＝，cos(α0＋β0)＝cosα0＋cosβ0成立，故B为真命题；对于C，向量a＝(2,1)，b＝(－1,0)，则a在b方向上的投影为＝＝－2，故C为假命题；对于D，|x|≤1，即－1≤x≤1，故充分性成立，若x≤1，则|x|≤1不一定成立，所以“|x|≤1”为“x≤1”的充分不必要条件，故D为假命题．[答案](1)C(2)B全称命题与特称命题的真假判...