第3讲立体几何中的向量方法1.(2018·全国Ⅱ卷,理9)在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(C)(A)(B)(C)(D)解析:法一如图,连接BD1,交DB1于O,取AB的中点M,连接DM,OM,易知O为BD1的中点,所以AD1∥OM,则∠MOD或其补角为异面直线AD1与DB1所成角.因为在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,AD1==2,DM==,DB1==,所以OM=AD1=1,OD=DB1=,于是在△DMO中,由余弦定理,得cos∠MOD==,即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为,故选C.法二如图,分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系.由题意,得A(1,0,0),D(0,0,0),D1(0,0,),B1(1,1,),所以=(-1,0,),=(1,1,),所以·=-1×1+0×1+()2=2,||=2,||=,所以cos<,>===.故选C.2.(2018·全国Ⅰ卷,理18)如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把△DFC折起,使点C到达点P的位置,且PF⊥BF.(1)证明:平面PEF⊥平面ABFD;(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.(1)证明:由已知可得,BF⊥PF,BF⊥EF,又PF∩EF=E,所以BF⊥平面PEF.又BF⊂平面ABFD,所以平面PEF⊥平面ABFD.(2)解:如图,作PH⊥EF,垂足为H.由(1)得,PH⊥平面ABFD.以H为坐标原点,的方向为y轴正方向,||为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz.由(1)可得,DE⊥PE.又DP=2,DE=1,所以PE=.又PF=1,EF=2,故PE⊥PF.可得PH=,EH=.则H(0,0,0),P0,0,,D-1,-,0,=1,,,=0,0,.又为平面ABFD的法向量.设DP与平面ABFD所成角为θ,则sinθ=||==.所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为.1.考查角度考查空间向量在求解空间角中的应用.2.题型及难易度解答题,难度中等偏上.(对应学生用书第39~41页)向量法求线面角【例1】(2018·石家庄市质量检测二)如图,三棱柱ABCA1B1C1中,侧面BB1C1C为∠CBB1=60°的菱形,AB=AC1.(1)证明:平面AB1C⊥平面BB1C1C;(2)若AB⊥B1C,直线AB与平面BB1C1C所成的角为30°,求直线AB1与平面A1B1C所成角的正弦值.(1)证明:如图1,连接BC1,交B1C于O,连接AO,因为侧面BB1C1C为菱形,所以B1C⊥BC1,因为AB=AC1,O为BC1的中点,所以AO⊥BC1,又B1C∩AO=O,所以BC1⊥平面AB1C,又BC1⊂平面BB1C1C,所以平面AB1C⊥平面BB1C1C.(2)解:因为AB⊥B1C,BO⊥B1C,AB∩BO=B,所以B1C⊥平面ABO,又AO⊂平面ABO,所以AO⊥B1C,从而OA,OB,OB1两两垂直.以O为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图2所示的空间直角坐标系Oxyz,因为直线AB与平面BB1C1C所成的角为30°,所以∠ABO=30°.设AO=1,则BO=,又∠CBB1=60°,所以△CBB1是边长为2的等边三角形,所以A(0,0,1),B(,0,0),B1(0,1,0),C(0,-1,0),=(0,1,-1),=(0,-2,0),==(,0,-1).设n=(x,y,z)是平面A1B1C的法向量,则即令x=1,则n=(1,0,).设直线AB1与平面A1B1C所成的角为θ,则sinθ=|cos<,n>|==,所以直线AB1与平面A1B1C所成角的正弦值为.利用向量法求线面角的方法:(1)分别求出斜线和它在平面内的射影的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补角);(2)通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(或钝角的补角),取其余角就是斜线和平面所成的角.即线面角的正弦值等于斜线的方向向量与平面的法向量夹角余弦值的绝对值.热点训练1:(2018·太原市一模)在四棱锥PABCD中,底面ABCD是边长为的正方形,PA⊥BD.(1)求证:PB=PD;(2)若E,F分别为PC,AB的中点,EF⊥平面PCD,求直线PB与平面PCD所成角的大小.(1)证明:如图,连接AC,交BD于点O,连接PO,因为四边形ABCD是正方形,所以AC⊥BD,OB=OD,又PA⊥BD,PA⊂平面PAC,AC⊂平面PAC,PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC,又PO⊂平面PAC,所以BD⊥PO,又OB=OD,所以PB=PD.(2)解:设PD的中点为Q,连接AQ,EQ,因为E为PC的中点,所以EQ∥CD,EQ=CD,又AF∥CD,AB=CD,F为AB的中点,所以AF=AB=CD,所以EQ∥AF,EQ=AF,所以四边形AQEF为平行四边形,所以EF∥AQ,因为EF⊥平面PCD,所以AQ⊥平面PCD,又PD⊂平面PCD,所以AQ⊥PD,因为Q是PD的中点,所以AP=AD=,因为AQ⊥平面PCD,CD⊂平面PCD,所以AQ⊥CD,又AD⊥CD,AQ∩AD=A,所以CD⊥平面PAD,PA⊂平面PAD,所以CD⊥PA,又PA⊥BD,BD∩CD=D,BD⊂平面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以PA⊥平面ABCD.以A为坐标原点,以AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(,0,0),P(0,0,),Q0,,,所以=0,,,=(,0,-),因为AQ...
