微专题十立体几何中探索性问题的研究[追根溯源]高考中的立体几何探索性试题，我们一般可以采用综合推理的方法、分析法、特殊化法和向量法来解决．探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，这类试题的一般设问方式是“是否存在？存在给出证明，不存在说明理由”．解决这类试题，一般根据探索性问题的设问，首先假设其存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾就否定假设．例题如图，在底面是菱形的四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝a，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1.(1)证明：PA⊥平面ABCD；(2)求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角的大小；(3)问：在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC.证明你的结论．审题方法F是线段PC上的点，一般可设PF＝λPC，求出λ的值，点P是已知的，即可求出点F.解题思路(1)证明的是线面垂直，只要努力去找直线与平面内的两条相交直线垂直即可；(2)按找二面角的方法进行；(3)通过建立恰当的直角坐标系，给出相应点的坐标，利用坐标关系和向量的相等就可以解决了．(1)证明因为底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，所以AB＝AD＝AC＝a，在△PAB中，由PA2＋AB2＝2a2＝PB2，知PA⊥AB，同理PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD.(2)解如图1所示，作EG∥PA交AD于G，由PA⊥平面ABCD，知EG⊥平面ABCD，作GH⊥AC于H，连接EH，则EH⊥AC，则∠EHG为所求二面角的平面角，设为θ.又PE∶ED＝2∶1，图1则EG＝a，AG＝a，GH＝AGsin60°＝a，从而tanθ＝＝，所以θ＝30°.(3)解以A为坐标原点，直线AD，AP分别为y轴，z轴，过A点垂直平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系，如图2所示．由题设条件，相关各点的坐标分别为A(0，0，0)，B，C，D(0，a，0)，P(0，0，a)，E.图2所以AE＝，AP＝(0，0，a)，AC＝，PC＝，BP＝.设F是棱PC上的点，且PF＝λPC＝，其中0<λ<1，则BF＝BP＋PF＝＋＝.令BF＝λ1AC＋λ2AE，得：解得λ＝，λ1＝－，λ2＝，即λ＝时，BF＝－AC＋AE，即F是PC的中点时，BF，AC，AE共面．又BF不在平面AEC内，所以当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC.例题追根溯源如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝a，点E在PD上，且PE∶ED＝λ∶1(λ∈N*)．(1)证明：PA⊥平面ABCD；(2)在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC.证明你的结论．审题方法F是线段PC上的点，一般可设PF＝tPC，求出t的值，点P是已知的，即可求出点F.解题思路通过建立恰当的直角坐标系，给出相应点的坐标，令所求直线对应的向量用该平面内的两个不共线向量表示即可．(1)证明因为底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，所以AB＝AD＝AC＝a，在△PAB中，由PA2＋AB2＝2a2＝PB2，知PA⊥AB，同理PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD.(2)解方法一以A为坐标原点，直线AD，AP分别为y轴，z轴，过A点垂直平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系，由题设条件，相关各点的坐标分别为A(0，0，0)，B，C，D(0，a，0)，P(0，0，a)，E.所以AE＝，AP＝(0，0，a)，AC＝，PC＝，BP＝.设F是棱PC上的点，且PF＝tPC＝，其中0
