第3节平面向量的数量积及其应用最新考纲1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题；6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.知识梳理1.平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角①定义：已知两个非零向量a和b，如右图，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作a与b的夹角.②当θ＝0°时，a与b共线同向.当θ＝180°时，a与b共线反向.当θ＝90°时，a与b互相垂直.(2)向量的数量积定义：已知两个向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos_θ叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos_θ，由定义可知零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.(3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的射影|b|cos_θ的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上射影|a|cos_θ的乘积.2.平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.(1)数量积：a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2.(2)模：|a|＝＝.(3)夹角：cosθ＝＝.(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤·.3.平面向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律).(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).[微点提醒]1.两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b<0且a，b不共线.2.平面向量数量积运算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)两个向量的夹角的范围是.()(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.()(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.()(4)若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.()解析(1)两个向量夹角的范围是[0，π].(4)由a·b＝a·c(a≠0)得|a||b|·cos〈a，b〉＝|a||c|·cos〈a，c〉，所以向量b和c不一定相等.答案(1)×(2)√(3)√(4)×2.(必修4P94讲解引申改编)设a，b是非零向量.“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析设a与b的夹角为θ.因为a·b＝|a|·|b|cosθ＝|a|·|b|，所以cosθ＝1，即a与b的夹角为0°，故a∥b.当a∥b时，a与b的夹角为0°或180°，所以a·b＝|a|·|b|cosθ＝±|a|·|b|，所以“a·b＝|a|·|b|”是“a∥b”的充分而不必要条件.答案A3.(必修4P97习题A6改编)在圆O中，长度为的弦AB不经过圆心，则AO·AB的值为________.解析设向量AO，AB的夹角为θ，则AO·AB＝|AO||AB|·cosθ＝|AO|cosθ·|AB|＝|AB|·|AB|＝×()2＝1.答案14.(2018·全国Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝()A.4B.3C.2D.0解析a·(2a－b)＝2|a|2－a·b＝2×12－(－1)＝3.答案B5.(2018·延安调研)平面向量a与b的夹角为45°，a＝(1，1)，|b|＝2，则|3a＋b|等于()A.13＋6B.2C.D.解析依题意得a2＝2，a·b＝×2×cos45°＝2，|3a＋b|＝＝＝＝.答案D6.(2017·全国Ⅰ卷)已知向量a＝(－1，2)，b＝(m，1).若向量a＋b与a垂直，则m＝________.解析由题意得a＋b＝(m－1，3)，因为a＋b与a垂直，所以(a＋b)·a＝0，所以－(m－1)＋2×3＝0，解得m＝7.答案7考点一平面向量数量积的运算【例1】(1)若向量m＝(2k－1，k)与向量n＝(4，1)共线，则m·n＝()A.0B.4C.－D.－(2)(2018·天津卷)在如图的平面图形中，已知OM＝1，ON＝2，∠MON＝120°，BM＝2MA，CN＝2NA，则BC·OM的值为()A.－15B.－9C.－6D.0解析(1)由题意得2k－1－4k＝0，解得k＝－，即m＝，所以m·n＝－2×4＋×1＝－.(2)连接OA.在△ABC中，BC＝AC－AB＝3AN－3AM＝3(ON－OA)－3(OM－OA)＝3(ON－OM)，∴BC·OM＝3(ON－OM)·OM＝3(ON·OM－OM2)＝3×(2×1×cos120°－12)＝3×(－2)＝－6.答案(1)D(2)C规...
