第2讲平面向量的基本定理及坐标表示基础知识整合1．平面向量的基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个□不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a＝□λ1e1＋λ2e2.2．平面向量的坐标表示在直角坐标系内，分别取与□x轴、y轴正方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对任一向量a，有唯一一对实数x，y，使得：a＝xi＋yj，□(x，y)叫做向量a的直角坐标，记作a＝(x，y)，显然i＝□(1,0)，j＝□(0,1)，0＝□(0,0)．3．平面向量的坐标运算(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝□(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝□(x1－x2，y1－y2)，λa＝□(λx1，λy1)．(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝□(x2－x1，y2－y1)，|AB|＝□.4．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔a＝λb(λ∈R)⇔□x1y2－x2y1＝0.1．平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组．2．当且仅当x2y2≠0时，a∥b与＝等价，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．1．(2019·郑州模拟)设向量a＝(x,1)，b＝(4，x)，若a，b方向相反，则实数x的值是()A．0B．±2C．2D．－2答案D解析由题意可得a∥b，所以x2＝4，解得x＝－2或2，又a，b方向相反，所以x＝－2.故选D.2．(2019·桂林模拟)下列各组向量中，可以作为基底的是()A．e1＝(0,0)，e2＝(1，－2)B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)D．e1＝(2，－3)，e2＝答案B解析两个不共线的非零向量构成一组基底，A中向量e1为零向量，C，D中两向量共线，B中e1≠0，e2≠0，且e1与e2不共线．故选B.3．在△ABC中，已知A(2,1)，B(0,2)，BC＝(1，－2)，则向量AC＝()A．(0,0)B．(2,2)C．(－1，－1)D．(－3，－3)答案C解析因为A(2,1)，B(0,2)，所以AB＝(－2,1)．又因为BC＝(1，－2)，所以AC＝AB＋BC＝(－2,1)＋(1，－2)＝(－1，－1)．故选C.4．(2019·德州模拟)如图，向量e1，e2，a的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a可用基底e1，e2表示为()A．e1＋e2B．－2e1＋e2C．2e1－e2D．2e1＋e2答案B解析由题意可取e1＝(1,0)，e2＝(－1,1)，a＝(－3,1)，设a＝xe1＋ye2＝x(1,0)＋y(－1,1)＝(x－y，y)，即解得故a＝－2e1＋e2.5．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ等于________．答案解析因为a＋λb＝(1＋λ，2)，c＝(3,4)，且(a＋λb)∥c，所以＝，所以λ＝.6．若三点A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)共线，则实数a的值为________．答案－解析AB＝(a－1,3)，AC＝(－3,4)，据题意知AB∥AC，∴4(a－1)＝3×(－3)，即4a＝－5，∴a＝－.核心考向突破考向一平面向量基本定理的应用例1(1)(2019·四川模拟)已知A，B，C三点不共线，且点O满足OA＋OB＋OC＝0，则下列结论正确的是()A.OA＝AB＋BCB.OA＝AB＋BCC.OA＝AB－BCD.OA＝－AB－BC答案D解析 OA＋OB＋OC＝0，∴O为△ABC的重心，∴OA＝－×(AB＋AC)＝－(AB＋AC)＝－(AB＋AB＋BC)＝－(2AB＋BC)＝－AB－BC.故选D.(2)在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且BC＝3CD，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若AO＝xAB＋(1－x)AC，则x的取值范围是()A.B.C.D.答案D解析解法一：由已知有AC＋CO＝xAB＋AC－xAC，则CO＝x(AB－AC)＝xCB＝－3xCD，因为0<－3x<1，所以x∈.解法二：设CO＝yBC，因为AO＝AC＋CO＝AC＋yBC＝AC＋y(AC－AB)＝－yAB＋(1＋y)AC.因为BC＝3CD，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，所以y∈.因为AO＝xAB＋(1－x)AC，所以x＝－y，所以x∈.故选D.触类旁通应用平面向量基本定理表示向量的方法应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算，基本方法有两种：(2将向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解.即时训练1.(2019·河北保定质检)设M是△ABC所在平面上的一点，且MB＋MA＋MC＝0，D是AC的中点，则的值为()A.B.C．1D．2答案A解析 D是AC的中点，∴DA＋DC＝0.又 MB＋MA＋MC＝0，∴MB＝－(MA＋MC)＝－(DA－DM＋DC－DM)，即MB＝3DM，故MD＝BM，∴＝.故选A.2．(2018·郑州质检)如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近A的...
