第5讲椭圆[考纲解读]1.掌握两种求椭圆方程的方法：定义法、待定系数法，并能根据其标准方程及几何图形研究椭圆的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)．(重点)2.掌握直线与椭圆位置关系的判断，并能求解直线与椭圆相关的综合问题．(难点)[考向预测]从近三年高考情况来看，本讲为高考的必考内容．预测2020年将会考查：①椭圆标准方程的求解；②直线与椭圆位置关系的应用；③求解与椭圆性质相关的问题．试题以解答题的形式呈现，灵活多变、技巧强，具有一定的区分度，试题中等偏难.1．椭圆的定义(1)定义：在平面内到两定点F1，F2的距离的□和等于□常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做□焦距．(2)集合语言：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝，且2a□>|F1F2|}，|F1F2|＝2c，其中a>c>0，且a，c为常数．注：当2a>|F1F2|时，轨迹为椭圆；当2a＝|F1F2|时，轨迹为线段F1F2；当2a<|F1F2|时，轨迹不存在．2．椭圆的标准方程和几何性质3．直线与椭圆位置关系的判断直线与椭圆方程联立方程组，消掉y，得到Ax2＋Bx＋C＝0的形式(这里的系数A一定不为0)，设其判别式为Δ：(1)Δ>0⇔直线与椭圆□相交；(2)Δ＝0⇔直线与椭圆□相切；(3)Δ<0⇔直线与椭圆□相离．4．弦长公式(1)若直线y＝kx＋b与椭圆相交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝□|x1－x2|＝□|y1－y2|.(2)焦点弦(过焦点的弦)：最短的焦点弦为通径长□，最长为□2a.5．必记结论(1)设椭圆＋＝1(a>b>0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，P点在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，P点在长轴端点处．(2)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.1．概念辨析(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．()(2)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)表示的曲线是椭圆．()(3)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．()(4)＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相同．()答案(1)×(2)√(3)√(4)√2．小题热身(1)椭圆＋＝1的离心率是()A.B．C．D．答案B解析由已知得a＝3，b＝2，所以c＝＝＝，离心率e＝＝.(2)直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是()A．(1，＋∞)B．(1,3)∪(3，＋∞)C．(3，＋∞)D．(0,3)∪(3，＋∞)答案B解析把y＝x＋2代入＋＝1得3x2＋m(x＋2)2＝3m，整理得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0，由题意得Δ＝(4m)2－4m(3＋m)＝12m(m－1)>0且3＋m≠0，又因为m>0且m≠3，所以m>1且m≠3，所以m的取值范围是(1,3)∪(3，＋∞)．(3)(2015·全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．答案2＋y2＝解析由题意知，圆过椭圆的三个顶点(4,0)，(0,2)，(0，－2)，设圆心为(a,0)，其中a>0，由4－a＝，解得a＝，所以该圆的标准方程为2＋y2＝.(4)已知动点P(x，y)的坐标满足＋＝16，则动点P的轨迹方程为________．答案＋＝1解析由已知得点P到点A(0，－7)和B(0,7)的距离之和为16，且16>|AB|，所以点P的轨迹是以A(0，－7)，B(0,7)为焦点，长轴长为16的椭圆．显然a＝8，c＝7，故b2＝a2－c2＝15，所以动点P的轨迹方程为＋＝1.题型椭圆的定义及应用1．过椭圆＋y2＝1的左焦点F1作直线l交椭圆于A，B两点，F2是椭圆右焦点，则△ABF2的周长为()A．8B．4C．4D．2答案A解析因为椭圆为＋y2＝1，所以椭圆的半长轴a＝2，由椭圆的定义可得AF1＋AF2＝2a＝4，且BF1＋BF2＝2a＝4，∴△ABF2的周长为AB＋AF2＋BF2＝(AF1＋AF2)＋(BF1＋BF2)＝4a＝8.2．在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆＋＝1上的一个动点，点A(1,1)，B(0，－1)，则|PA|＋|PB|的最大值为()A．5B．4C．3D．2答案A解析如图， 椭圆＋＝1，∴焦点坐标为B(0，－1)和B′(0,1)，连接PB′，AB′，根据椭圆的定义，得|PB|＋|PB′|＝2a＝4，可得|PB|＝4－|PB′|，因此|PA|＋|PB|＝|PA|＋(4－|PB′|)＝4＋(|PA|－|PB′|)． |PA|－|PB′|≤|AB′|，∴|PA|＋|PB|≤4＋|AB′|＝4＋1＝5.当且仅当点P在AB′的延长线上时，等号成立．综上所述，可得|PA|＋|PB|的最大值为5.3．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点...
