第2讲平面向量基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理(1)定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．(2)基底：不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝．(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)，|AB|＝．3．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0．[提醒]当且仅当x2y2≠0时，a∥b与＝等价．即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．()(2)在△ABC中，向量AB，BC的夹角为∠ABC.()(3)同一向量在不同基底下的表示是相同的．()(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成＝.()(5)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√(教材习题改编)已知向量a，b满足a＋b＝(－1，5)，a－b＝(5，－3)，则b＝()A．(－3，4)B．(3，4)C．(3，－4)D．(－3，－4)解析：选A.由a＋b＝(－1，5)，a－b＝(5，－3)，得2b＝(－1，5)－(5，－3)＝(－6，8)，所以b＝(－6，8)＝(－3，4)，故选A.已知点A(0，1)，B(3，2)，向量AC＝(－4，－3)，则向量BC＝()A．(－7，－4)B．(7，4)C．(－1，4)D．(1，4)解析：选A.法一：设C(x，y)，则AC＝(x，y－1)＝(－4，－3)，所以从而BC＝(－4，－2)－(3，2)＝(－7，－4)．故选A.法二：AB＝(3，2)－(0，1)＝(3，1)，BC＝AC－AB＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)．故选A.(2017·高考山东卷)已知向量a＝(2，6)，b＝(－1，λ)．若a∥b，则λ＝________．解析：因为a∥b，所以－1×6＝2λ，所以λ＝－3.答案：－3在▱ABCD中，AB＝a，AD＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则MN＝________(用a，b表示)．解析：因为AN＝3NC，所以AN＝AC＝(a＋b)，又因为AM＝a＋b，所以MN＝(a＋b)－＝－a＋b.答案：－a＋b平面向量基本定理及其应用[典例引领](1)已知平行四边形ABCD中，点E，F满足AE＝2EC，BF＝3FD，则EF＝________(用AB，AD表示)．(2)在△ABC中，点P是AB上一点，且CP＝CA＋CB，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又CM＝tCP，则实数t的值为________．【解析】(1)如图所示，AE＝AC＝(AB＋AD)，BF＝BD＝(AD－AB)，所以EF＝EA＋AB＋BF＝－(AB＋AD)＋AB＋(AD－AB)＝－AB＋AD.(2)因为CP＝CA＋CB，所以3CP＝2CA＋CB，即2CP－2CA＝CB－CP，所以2AP＝PB.即P为AB的一个三等分点(靠近A点)，又因为A，M，Q三点共线，设AM＝λAQ.所以CM＝AM－AC＝λAQ－AC＝λ－AC＝AB＋AC，又CM＝tCP＝t(AP－AC)＝t＝AB－tAC.故解得故t的值是.【答案】(1)－AB＋AD(2)1．在本例(2)中，试用向量AB，AC表示CP.解：因为CP＝CA＋CB，所以3CP＝2CA＋CB，即2CP－2CA＝CB－CP，2AP＝PB，所以AP＝AB，CP＝AP－AC＝AB－AC.2．在本例(2)中，试问点M在AQ的什么位置？解：由本例(2)的解析CM＝AB＋AC及λ＝，CB＝2CQ知，CM＝λ(CB－CA)＋CA＝CB＋(1－λ)CA＝λCQ＋(1－λ)CA＝.因此点M是AQ的中点．平面向量基本定理应用的实质和一般思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．[通关练习]1．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点，若AB＝λAM＋μAN，则λ＋μ等于()A.B.C.D.解析：选D.因为AB＝AN＋NB＝AN＋CN＝AN＋(CA＋AN)＝2AN＋CM＋MA＝2AN－AB－AM，所以AB＝AN－AM，所以λ＝－，μ＝，所以λ＋μ＝.2．如图，在△ABC中，设AB＝a，AC＝b，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点恰为P，则AP＝()A.a＋bB.a＋bC.a＋bD.a＋b解析：选C.如图，连接BP，则AP＝AC＋CP＝...
