第7讲立体几何中的向量方法[考纲解读]1.理解直线的方向向量及平面的法向量，并能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系．(重点)2.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理，并能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题．(难点)[考向预测]从近三年高考情况来看，本讲为高考必考内容．预测2020年高考将会以空间向量为工具，证明平行与垂直以及求空间角的计算问题．试题以解答题的形式呈现，难度为中等偏上.1．用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔□v1∥v2⇔v1＝λv2.(2)设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l⊂α⇔存在两个实数x，y，使v＝□xv1＋yv2.(3)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔□v⊥u⇔□v·u＝0.(4)设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔□u1∥u2⇔u1＝λu2.2．用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔□v1⊥v2⇔□v1·v2＝0.(2)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔□v∥u⇔□v＝λu.(3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔□u1⊥u2⇔□u1·u2＝0.3．两条异面直线所成角的求法设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则4．直线和平面所成角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sinφ＝|cosθ|＝□，φ的取值范围是.5．求二面角的大小(1)如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝□〈AB，CD〉．(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cosθ|＝□|cos〈n1，n2〉|＝□，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)1．概念辨析(1)若空间向量a平行于平面α，则a所在直线与平面α平行．()(2)两异面直线夹角的范围是，直线与平面所成角的范围是，二面角的范围是[0，π]．()(3)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．()(4)若二面角α－a－β的两个半平面α，β的法向量n1，n2所成角为θ，则二面角α－a－β的大小是π－θ.()答案(1)×(2)√(3)×(4)×2．小题热身(1)若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则()A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α斜交答案B解析因为a＝(1,0,2)，n＝(－2,0，－4)，所以n＝－2a，所以a∥n，所以l⊥α.(2)已知向量AB＝(2,2,1)，AC＝(4,5,3)，则平面ABC的单位法向量是()A.B．C．±D．±答案D解析设平面ABC的一个法向量是n＝(x，y，z)，则取z＝1，得x＝，y＝－1.则n＝，|n|＝，故平面ABC的单位法向量是±.(3)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与C1B所成角的大小为()A．60°B．75°C．90°D．105°答案C解析取AC的中点D，建立如图所示的空间直角坐标系．设AB＝a，则B，C1，A，B1，从而AB1＝，C1B＝.所以cos〈AB1，C1B〉＝＝0，所以AB1与C1B所成的角为90°.故选C.(4)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝AA1＝1，则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为________，二面角B－A1C1－D1的余弦值为________．答案－解析如图，建立空间直角坐标系Dxyz，则D1(0,0,1)，C1(0,2,1)，A1(1,0,1)，B(1,2,0)，∴D1C1＝(0,2,0)，A1C1＝(－1，2,0)，A1B＝(0,2，－1)，设平面A1BC1的一个法向量为n＝(x，y，z)，由即令y＝1，得n＝(2,1,2)，设D1C1与平面A1BC1所成角为θ，则sinθ＝|cos〈D1C1，n〉|＝＝＝，即直线D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为.易知平面A1C1D1的法向量m＝(0,0,1)，∴cos〈m，n〉＝＝＝.由图可知，二面角B－A1C1－D1为钝角，故二面角B－A1C1－D1的余弦值为－.题型利用空间向量研究空间中的位置关系角度1利用空间向量证明平行与垂直问题1．(2018·青岛模拟)如图，在多面体ABC－A1B1C1中，四边形A1ABB1是正方形，AB＝AC，BC＝AB，B1C1綊BC，AA1⊥平面BAC.求证：(1)A1B1⊥平面AA1C；(2)AB1∥平面A1C1C.证明 AA1⊥平面BAC.∴AA1⊥AB，AA1⊥AC.又 AB＝AC，BC＝AB，∴∠CAB＝90°...
