第7讲立体几何中的向量方法基础知识整合1．直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量直线l上的向量e或与e□共线的向量叫做直线l的方向向量，显然一条直线的方向向量有□无数个．(2)平面的法向量如果表示向量n的有向线段所在□直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作n⊥α，此时向量n叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量也有□无数个，且它们是□共线向量．(3)设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v，则l∥m⇔□a∥b⇔□a＝kb，k∈R；l⊥m⇔□a⊥b⇔□a·b＝0；l∥α⇔□a⊥u⇔□a·u＝0；l⊥α⇔□a∥u⇔□a＝ku，k∈R；α∥β⇔□u∥v⇔□u＝kv，k∈R；α⊥β⇔□u⊥v⇔□u·v＝0.2．空间向量与空间角的关系(1)两条异面直线所成角的求法设两条异面直线a，b的方向向量分别为a，b，其夹角为θ，则cosφ＝|cosθ|＝□其中φ为异面直线a，b所成的角，范围是.(2)直线和平面所成角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sinφ＝|cosθ|＝□，φ的取值范围是.(3)求二面角的大小如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个半平面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝□〈AB，CD〉．1如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cosθ＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉．取值范围是[0，π]．3．求空间的距离(1)点到平面的距离如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则点B到平面α的距离d＝□.(2)线面距、面面距均可转化为点面距进行求解．1．直线的方向向量的确定：l是空间一直线，A，B是l上任意两点，则AB及与AB平行的非零向量均为直线l的方向向量．2．平面的法向量的确定：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为1．平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α和平面β的位置关系是()A．平行B．相交但不垂直C．垂直D．重合答案C解析由(1,2,0)·(2，－1,0)＝1×2＋2×(－1)＋0×0＝0，知两平面的法向量互相垂直，所以两平面互相垂直．2．(2019·黑龙江模拟)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E，F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于()2A.B.C.D.答案B解析设正方体的棱长为2，建立如图所示的坐标系，O(1,1,0)，E(0,2,1)，F(1,0,0)，D1(0,0,2)，∴FD1＝(－1,0,2)，OE＝(－1,1,1)．∴cos〈FD1，OE〉＝＝＝.3．如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E，F分别是AB，PC的中点．若∠PDA＝45°，则EF与平面ABCD所成的角的大小是()A．90°B．60°C．45°D．30°答案C解析设AD＝a，AB＝b，因为∠PDA＝45°，PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AD，PA＝AD＝a.3以点A为坐标原点，AB，AD，AP所在射线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则A(0,0,0)，P(0,0，a)，E，F，所以EF＝.易知AP＝(0,0，a)是平面ABCD的一个法向量．设EF与平面ABCD所成角为θ，则sinθ＝|cos〈AP，EF〉|＝＝.所以θ＝45°.4．(2019·金华模拟)在空间直角坐标系Oxyz中，平面OAB的一个法向量为n＝(2，－2,1)，已知点P(－1,3,2)，则点P到平面OAB的距离d等于()A．4B．2C．3D．1答案B解析由已知平面OAB的一条斜线的方向向量OP＝(－1，3,2)，所以点P到平面OAB的距离d＝|OP|·|cos〈OP，n〉|＝＝＝2.故选B.5．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝AA1＝1，则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为________．答案解析如图，建立空间直角坐标系Dxyz，则D1(0,0,1)，C1(0,2,1)，A1(1,0,1)，B(1,2,0)，∴D1C1＝(0,2,0)，设平面A1BC1的一个法向量为n＝(x，y，z)，由4得令y＝1，得n＝(2,1,2)，设D1C1与平面A1BC1所成角为θ，则sinθ＝|cos〈D1C1，n〉|＝＝＝.即直线D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为.核心考向突破考向一利用空间向量证明平行、垂直例1(2019·南京模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD所成的角为30°.求证...
