平面向量的概念及线性运算1．了解向量的实际背景，理解向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示．2．掌握向量的加法、减法的运算，并理解其几何意义．3．掌握向量的数乘运算，并理解其几何意义以及两个向量共线(平行)的意义．知识梳理1．向量的有关概念(1)向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量．用有向线段表示向量时，有向线段的长度表示向量的大小(叫做向量的模)，有向线段的箭头所指的方向表示向量的方向.(2)两个特殊向量长度为0的向量叫做零向量，记作0.长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量．(3)平行向量(或共线向量)①方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，因为任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量．②规定0与任一向量平行．③长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．2．向量的线性运算(1)向量的加法①定义：求两个向量和的运算叫做向量的加法．②法则：向量的加法有三角形法则和平行四边形法则．③几何意义：如下图所示：④运算律：a＋b＝b＋a；(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).(2)向量的减法①定义：减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.②法则：向量的减法符合三角形法则．③几何意义如下图所示．(3)向量的数乘运算①定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度和方向规定如下：(ⅰ)|λa|＝|λ||a|；(ⅱ)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.②运算律a，b为任意向量，λ，μ为实数．λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb.3．向量共线定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一实数λ，使b＝λa.1．在平行四边形中，如图：(1)若a，b为不共线的两个向量，则a＋b，a－b为以a，b为邻边的平行四边形的两条对角线表示的向量．(2)AO＝(a＋b)．(3)|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2)．2．在△ABC中：(1)PG＝(PA＋PB＋PC)(向量式)⇔G是△ABC的重心．(2)G为△ABC的重心⇔GA＋GB＋GC＝0.(3)λ(＋)(λ≠0)所在直线(即∠BAC的平分线所在直线)过△ABC的内心．3．共线的有关结论：①A，B，C三点共线⇔AB，AC共线．②OA＝xOB＋yOC(x，y为实数)，若点A，B，C共线，则x＋y＝1.4．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量的终点的向量，即A1A2＋A2A3＋A3A4＋…＋An－1An＝A1An.特别地，一个封闭图形，首尾连结而成的向量和为零向量．热身练习1．下列命题中：①温度有零上和零下温度，所以温度是向量；②重力有大小和方向，所以重力是向量；③若|a|>|b|，则a>b；④若|a|＝|b|，则a＝b.其中真命题的个数是(A)A．1B．2C．3D．4①温度的零上和零下只表示数量，但不表示方向，事实上温度没有方向，它只是一个数量，①假；②重力既有大小又有方向，重力是向量，②真；③向量既有大小又有方向，两个向量不能比较大小，③假；④大小相等和方向相同的两个向量才相等，④假．由以上分析知，真命题的个数是1.2．下列命题中：①零向量的长度为0；②零向量的方向任意；③单位向量都相等；④与非零向量a共线的单位向量为±.其中真命题的个数是(C)A．1B．2C．3D．4①②④都是真命题，对于单位向量只规定了大小，没有规定方向，所以③是假命题．3．下列命题中：①平行向量方向一定相同；②共线向量一定相等；③向量AB与CD是共线向量，则A，B，C，D四点共线；④若a∥b且b∥c，则a∥c.其中真命题的个数是(A)A．0B．1C．2D．3①假，平行向量方向不一定相同．②假，共线向量即平行向量，不一定相等．③假，AB与CD是共线向量，AB与CD所在的直线不一定共线，故A，B，C，D四点不一定共线．④假，当b＝0时，a与c可以是任意向量．4．如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD＝(A)A．－BC＋BAB．－BC－BAC.BC－BAD.BC＋BA(方法一：向量的加法)CD＝CB＋BD＝－BC＋BA.(方法二：向量的减法)CD＝BD－BC＝BA－BC.5．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝.因为向量λa＋b与a＋2b平行，所以λa＋b＝k(a＋2b)，则所以λ＝.向量的线性运算(经典真题)设D为△ABC所在平面内一点，BC＝3CD，则A.AD＝－AB＋ACB.AD＝AB－ACC.A...
