第2讲空间向量与立体几何[做小题——激活思维]1．在正方体A1B1C1D1ABCD中，AC与B1D所成角的大小为()A.B.C.D.D[如图，连接BD，易证AC⊥平面BB1D，∴AC⊥B1D，∴AC与B1D所成角的大小为.]2．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为()A．45°B．135°C．45°或135°D．90°C[ m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，∴|m|＝1，|n|＝，m·n＝1，∴cos〈m，n〉＝＝＝，设两平面所成的二面角为α，则|cosα|＝，∴α＝45°或135°，故选C.]3．用a，b，c表示空间中三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；②若a∥b，a∥c，则b∥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.其中真命题的序号是()A．①②B．②③C．①④D．②④D[对于①，正方体从同一顶点引出的三条直线a，b，c，满足a⊥b，b⊥c，但是a⊥c，所以①错误；对于②，若a∥b，a∥c，则b∥c，满足平行线公理，所以②正确；对于③，平行于同一平面的两条直线的位置关系可能是平行、相交或者异面，所以③错误；对于④，由垂直于同一平面的两条直线平行，知④正确．故选D.]4．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为________．[设l与α所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈m，n〉|＝，又θ∈，∴θ＝.][扣要点——查缺补漏]1．证明线线平行和线线垂直的常用方法(1)证明线线平行：①利用平行公理；②利用平行四边形进行平行转换；③利用三角形的中位线定理；④利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换．如T3.(2)证明线线垂直：①利用等腰三角形底边上的中线即高线的性质；②勾股定理；③线面垂直的性质．2．证明线面平行和线面垂直的常用方法(1)证明线面平行：①利用线面平行的判定定理；②利用面面平行的性质定理．(2)证明线面垂直：①利用线面垂直的判定定理；②利用面面垂直的性质定理．3．异面直线所成的角求法(1)平移法：解三角形．(2)向量法：注意角的范围．如T1.4．二面角的求法cosθ＝cos〈m，n〉＝，如T2.5．线面角的求法sinθ＝|cos〈m，n〉|，如T4.利用空间向量求空间角(5年15考)[高考解读]主要考查通过建立空间直角坐标系，解决空间图形中的线线角、线面角和面面角的求解，考查学生的空间想象能力、运算能力、三种角的定义及求法等.(2018·全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥PABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．(1)证明：PO⊥平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且二面角MPAC为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值．切入点：(1)借助勾股定理，证明PO⊥OB；(2)建立空间直角坐标系，利用二面角MPAC为30°求出点M的坐标，进而求出PC与平面PAM所成角的正弦值．[解](1)证明：因为AP＝CP＝AC＝4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP＝2.连接OB.因为AB＝BC＝AC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝AC＝2.由OP2＋OB2＝PB2知PO⊥OB.由OP⊥OB，OP⊥AC，OB∩AC＝O，知PO⊥平面ABC.(2)如图，以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz.由已知得O(0,0,0)，B(2,0,0)，A(0，－2,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，AP＝(0,2,2)．取平面PAC的一个法向量OB＝(2,0,0)．设M(a,2－a,0)(0≤a≤2)，则AM＝(a,4－a,0)．设平面PAM的法向量为n＝(x，y，z)．由AP·n＝0，AM·n＝0得可取n＝((a－4)，a，－a)，所以cos〈OB，n〉＝.由已知可得|cos〈OB，n〉|＝，所以＝，解得a＝－4(舍去)，a＝，所以n＝.又PC＝(0,2，－2)，所以cos〈PC，n〉＝.所以PC与平面PAM所成角的正弦值为.[教师备选题]1.(2015·全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.(1)证明：平面AEC⊥平面AFC；(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值．[解](1)证明：如图，连接BD，设BD∩AC＝G，连接EG，FG，EF.在菱形ABCD中，不妨设GB＝1.由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝.由BE⊥平面ABCD，AB＝BC，可知AE＝EC.又AE⊥EC，所以EG＝，且EG⊥AC.在Rt△EBG中，可得BE＝，故DF＝.在Rt△FDG中，可得FG＝.在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝，DF＝，可得EF＝.从而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG....
