辽宁省东北育才学校高中部高二数学双曲线的标准方程教学案例学生2:我感觉有无数个.老师:理由?学生2:暂时没想好,就是感觉有无数个.老师:数学是严谨的,不能全靠感觉,有没有想发言的?(略等一会,大家没有举手的)我们现在不管结果如何?来看看解决这道题的有没有合适的解题思路?可以想一想我们所学的数学思想.学生3:根据解析几何思想,我们不妨建立适当的直角坐标系,设爆炸点坐标为P(x,y),根据几何条件写出方程,通过研究此方程的解的个数来判断能不能确定爆炸点的具体位置.(此时掌声已经响起)老师:说的非常的好,用方程的解的个数来判断爆炸点的个数,很有创意.那我们来看,几何条件是什么呢?(边问边写)/PA/-/PB/=4X330=1320.(边指着这个式子边说)差为1320,那把这个问题一般化,现在就要看P点到A点与到B点的距离的差为常数的点的轨迹问题.为了直观起见,我带来一块小黑板,请上来两个同学协助我做个实验,我这里有两段长度不等的绳子,将这两段绳子的各一端放在一起打个结,另一端分别固定在小黑板的两个螺丝钉上,注意绳长之差小于两螺丝钉之间的距离.(老师和学生一起合作画出曲线,把两段绳子的固定点交换位置,再画出另一支曲线,具体操作略)老师:如果黑板无限大,绳子无限长,这两支曲线向四个方向无限延伸,我把这样的两支曲线合在一起叫做双曲线,请同学们根据我们的演示,归纳出双曲线的定义（1分钟后）学生3:平面内与两个定点1F，2F的距离的差的等于常数的点的轨迹叫做双曲线有几个学生小声说:差的绝对值.老师:有同学说”差的绝对值”,为什么要加”绝对值”.(老师指向应和的一位学生,让他回答)学生4:如果不加绝对值,只能表示其中一支曲线.老师:很好.那加上绝对值是不是就可以了呢?还有没有持不同意见的.学生5:刚才老师说.绳长之差小于两螺丝钉之间的距离,所以我认为常数应该小于两螺丝钉之间的距离.老师:相当不错,跟椭圆一样,应该有个条件,条件就是这位学生所说的.(老师边说边写出定义:平面内与两个定点1F，2F的距离的差的绝对值等于常数（小于21FF）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。)那么,常数大于或等于用心爱心专心121FF的轨迹又是什么样的呢?学生6:若相等,动点P的轨迹是分别以点F1、F2为端点，方向指向F1F2外侧的两条射线.若大于,动点P的轨迹不存在.这是因为a、c的关系违背了三角形中两边之差小于第三边的性质.老师:其实双曲线不是我们数学书上独有的,在生活和生产中有着广泛的应用,请看大屏幕.冷却塔马鞍曲线型导航系统用心爱心专心2双曲线型交通枢纽老师:看到这些,我想问双曲线到底是什么受到这么多的人的青睐?这样的曲线到底有什么秘密呢?要研究曲线的性质,我们又该怎么办呢?众学生:建系,求方程.老师:不错,那我们如何建系呢?(我拿起刚才所用的小黑板)学生7:取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立直角坐标系．老师:(边在黑板上画坐标系边问)理由?学生7:根据椭圆的做法.老师:很好,我们再设M(x，y)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c(c＞0)，那么F1、F2的坐标分别是(-c，0)、(c，0)．又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a．老师:几何条件?学生齐声说:||MF1|-|MF2||=2a.老师:也可以写成(边说边写):|MF1|-|MF2|=±2a,代入坐标得:22)(ycx-22)(ycx=±2a.这就是双曲线的方程,但通过这个方程我们很难研究它的几何性质,有必要进行化简,下面给大家一点时间把这个方程化简一下,看谁化的最简单,我们就用他得到的方程来研究双曲线的性质,我还想找个同学到黑板上来化简,谁愿意?(学生8上来化简,老师同时在黑板上画出双曲线和相应的坐标系，随后老师巡视,指导遇到困难的学生,4分钟后,上黑板的同学已经完成,老师让他做了详细的讲解,重点强调a与b以及c的关系,同时比较椭圆里的a与b的大小关系).老师:感谢这位学生,这样我们就得到了形式优美,根椭圆又有点类似的方程12222byax,我用心爱心专心3记得椭圆有两种建系方式,双曲线呢?(我把小黑板逆时针旋转90度)学生9:取过焦点F1、F2的直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为小轴建立直角坐标系．（老师同时画出双曲线和相应的坐标系）老师:方程如何?学生:将12222byax里的...
