【四维备课】高中数学 2.5 向量的应用教案 新人教A版必修4VIP免费

2.5向量的应用【教学过程】一、引入空间向量的运算和平面向量一致，学习空间向量可帮助我们将许多立体几何问题化成简单的代数式，比如要求空间当中一条线段的长度可借助向量的模来求算，要判断两条直线之间的位置关系也可以借助两向量的夹角。二、概念分析向量的数量积大小aa=|a|2，位置abab=0三、例题讲解例1证明以圆的直径为一边的圆内接三角形是直角三角形．分析如图15-6，只需证明=0．证明设⊙O半径为r,连结半径OA．因为＝－，＝＋＝－，＝＋,所以＝（－）(＋）＝－＝r2－r2＝0．因此AB⊥AC，所以△ABC是直角三角形．例2即得c2=a2+b2．如图15-7，已知ABCD-A1B1C1D1为长方体，棱长AB=a,AD=b,AA1=c，AC1、CA1是其两条对角线．求证：若AC1CA1，则c2=a2+b2．证明因为AC1CA1，所以=0．=++，=++，=(++)(++)=++++++++．因为=-,=-,=，故=-||2-||2+||2=-a2-b2+c2=0．即得c2=a2+b2．例3如图15-8，在两个互相垂直的平面和的交线上有两个点A、B，AC且ACAB，BD且BDAB．已知AB=AC=1,BD=，求线段CD的长．1O·A·B·C·图15-6··图15-7ABCDA1B1C1D1解，所以=．由两平面垂直的性质知，AC⊥平面，所以AC⊥BD，=0．又由条件知=0,=0．所以=1+1+2=4．所以CD＝2．四、课堂练习1.证明菱形的对角线互相垂直．2.已知A,B是120的二面角-l-棱l上的两点，线段AC，BD分别在面,内，且AC⊥l，BD⊥l．已知AC=2，BD=1，AB=3，求线段CD的长．【小结】课堂小结：本节课我们运用向量的数量积形式来计算空间当中线段的长短与位置，直接通过向量的加和形式来表示空间中的线段，最后经由简单的代数运算即可判断出大小与位置关系，此种方法在某些复杂的立体结构中会显得比立体几何的方法更加的简单。2