数学归纳法及其应用【考点透视】一、考纲指要1．了解数学归纳法的原理，理解“归纳法”和“数学归纳法”的含意和本质．2．能用数学归纳法证明一些简单的问题：与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列的通项与和问题、几何问题、整除性问题等等．3．掌握归纳与推理的方法；培养大胆猜想，小心求证的辩证思维素质．二、命题落点1．客观性试题主要考查学生对数学归纳法的实质的理解，掌握数学归纳法的证题步骤(特别要注意递推步骤中归纳假设的运用和恒等变换的运用)，如例1．2．解答题大多以考查数学归纳法内容为主，并涉及到函数、方程、数列、不等式等综合性的知识，在解题过程中通常用到等价转化，分类讨论等数学思想方法，是属于中高档难度的题目。和例3，例4．3．“观察→归纳→猜想→证明”是一种十分重要的思维方法，运用这种思维方法既能发现结论，又能证明结论的正确性．这是分析问题和解决问题能力的一个重要内容，也是近几年高考的一个考查重点，如例24．数学归纳法是高考考查的重点内容之一.类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想，抽象与概括，从特殊到一般是应用数学归纳法的一种主要思想方法.在由n=k时命题成立，证明n=k+1命题也成立时，要注意设法化去增加的项，通常要用到拆项、组合、添项、减项、分解、化简等技巧。【典例精析】例1：（1994·上海）.某个命题与自然数n有关，若n=k（k∈N+）时该命题成立，那么可推得当n=k+1时该命题也成立，现已知当n=5时，该命题不成立，那么可推得（）A．当n=6时该命题不成立B．当n=6时该命题成立C．当n=4时该命题不成立D．当n=4时该命题成立解析：原命题与逆否命题等价，若n＝k＋1时命题不成立，则n＝k命题不成立．因为当n=k时，命题成立可推出n=k+1时成立，所以n=5时命题不成立，则n=4时，命题也一定不成立，故应当选C．答案：C例2：（1993·全国理）已知数列，…，，…。S为其前n项和，求S、S、S、S，推测S公式，并用数学归纳法证明．解析：本题的思路是从试验、观察出发，用不完全归纳法作出归纳猜想，再用数学归纳法进行严格证明，这是关于探索性问题的常见证法。但证明方法不唯一，除数学归纳法外，有时还可使用其他方法。计算得S＝，S＝，S＝，S＝，猜测S＝(n∈N+)。证明：当n＝1时，等式显然成立；假设当n＝k时等式成立，即：S＝，用心爱心专心当n＝k＋1时，S＝S＋＝＋＝＝＝,由此可知，当n＝k＋1时等式也成立。综上所述，等式对任何n∈N+都成立。例3：（2004·重庆）设数列满足．（1）证明对一切正整数n成立；（2）令,判断的大小，并说明理由．解析：用数学归纳法进行证明（1）当不等式成立.综上由数学归纳法可知，对一切正整数成立.（2）【常见误区】1．用数学归纳法证明命题的两个步骤缺一不可．关于第一步的注意事项：（1）缺一不可；（2）过量无用；（3）宜取尽可能小的自然数，这样可使命题成立的范围较大，用心爱心专心但不一定必须取1；（4）要和第二步骤配合，数学归纳法的两个步骤是独立的，这是从数学归纳法的意义来说的，可它们要达到同一目的，因此又要配合与关照．关于第二步的注意事项：（1）第二步骤主要在于合理运用归纳假设，这一步实质是要证明命题的传递性；（2）第二步的关键是确立递推关系，它是确定一个自动推演机器，即只要在前边命题成立的假设下，就可以寻求后边的成立，这里的为真是纯粹的假设，是否确实为真，第二步管不了，也根本不必要去管；（3）不完全归纳法在发现递推关系中的作用；（4）借助分析法发现递推关系。2．需要注意的是：在第二步证明“当n=k+1时命题成立”的过程中，必须利用“归纳假设”，即必须用上“当n=k时命题成立”这一条件。因为“当n=k时命题成立”实为一个已知条件，而“当n=k+1时命题成立”只是一个待证目标．3．数学归纳法的一大鲜明特征是，证明步骤与格式的完整与规范性，必须注意书写格式的完整性．4．必须注意，不是所有的与正整数n有关的问题都能用数学归纳法证明成功．用心爱心专心
