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浙江省高考数学一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 补上一课 立体几何中的截面问题及球的切接问题(含解析)-人教版高三全册数学试题VIP免费

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立体几何中的截面问题及球的切接问题知识拓展1.立体几何中的截面问题(1)平面截球:圆(圆面).(2)平面截正方体:三角形、四边形、五边形、六边形.(3)平面截圆柱曲面:圆、椭圆、矩形.2.球的切接问题(1)长方体的外接球①球心:体对角线的交点;②半径:r=(a,b,c为长方体的长、宽、高).(2)正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球①外接球:球心是正方体中心;半径r=a(a为正方体的棱长);②内切球:球心是正方体中心;半径r=(a为正方体的棱长);③与各条棱都相切的球:球心是正方体中心;半径r=a(a为正方体的棱长).(3)正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分)①外接球:球心是正四面体的中心;半径r=a(a为正四面体的棱长);②内切球:球心是正四面体的中心;半径r=a(a为正四面体的棱长).题型突破题型一立体几何中的截面问题【例1】(1)(2018·全国Ⅰ卷)已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面α所成的角都相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为()A.B.C.D.(2)(2020·浙江新高考仿真卷三)已知平面α截一球面得圆M,过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N,若该球面的半径为4,圆M的面积为4π,则圆N的面积为()A.7πB.9πC.11πD.13π解析(1)记该正方体为ABCD-A′B′C′D′,正方体的每条棱所在直线与平面α所成的角都相等,即共点的三条棱A′A,A′B′,A′D′与平面α所成的角都相等.如图,连接AB′,AD′,B′D′,因为三棱锥A′-AB′D′是正三棱锥,所以A′A,A′B′,A′D′与平面AB′D′所成的角都相等.分别取C′D′,B′C′,BB′,AB,AD,DD′的中点E,F,G,H,I,J,连接EF,FG,GH,IH,IJ,JE,易得E,F,G,H,I,J六点共面,平面EFGHIJ与平面AB′D′平行,即截面EFGHIJ为平面α截正方体所得最大截面.又EF=FG=GH=IH=IJ=JE=,所以该正六边形的面积为6××=,所以α截此正方体所得截面面积的最大值为,故选A.(2)设球的球心为O,由圆M的面积为4π得圆M的半径为2,则|OM|==2,又因为圆N所在的平面β与圆M所在的平面α所成的角为60°,则∠OMN=30°,且ON⊥MN,则sin∠OMN=,即sin30°=,解得|ON|=,则圆N的半径r==,圆N的面积为πr2=13π,故选D.答案(1)A(2)D规律方法此类题主要考查空间想象能力及空间几何体的结构特征,解题时可寻找特殊情况使问题得到简化.【训练1】(1)(2018·全国Ⅰ卷)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为()A.12πB.12πC.8πD.10π(2)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别是棱AD,B1C1上的动点,设AE=λ,B1F=μ.若平面BEF与正方体的截面是五边形,则λ+μ的取值范围是________.解析(1)因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,所以圆柱的高为2,底面圆的直径为2,所以该圆柱的表面积为2×π×()2+2π××2=12π.故选B.(2)通过特殊位置来分析,当AE=λ→1时(此时E与D接近重合),若B1F=μ→0(此时B1与F接近重合),此时截面是四边形,随着B1F=μ的变大,平面BEF与正方体的截面是五边形,由此知λ+μ>1;随着B1F=μ→1,平面BEF与正方体的截面仍是五边形,当两者均为1时,截面是三角形,由此知λ+μ<2,故1<λ+μ<2.答案(1)B(2)(1,2)题型二外接球问题【例2】(1)(2017·新课标全国Ⅱ)长方体的长、宽、高分别为3、2、1,其顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为________.(2)已知底面边长为1,侧棱长的正四棱柱的各个顶点均在同一个球的球面上,则该球的体积为()A.B.4πC.2πD.(3)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的六个顶点都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球O的半径为()A.B.2C.D.3(4)正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该四棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为()A.B.16πC.9πD.(5)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,若平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,SA⊥AC,SB⊥BC,三棱锥S-ABC的体积为9,则球的表面积为________.解析(1)长方体体对角线长为=,所以长方体外接球半径R=,所以长方体外接球的表面积为S=4πR2=14...

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