浙江省高考数学一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 补上一课 立体几何中的截面问题及球的切接问题（含解析）-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

立体几何中的截面问题及球的切接问题知识拓展1.立体几何中的截面问题(1)平面截球：圆(圆面).(2)平面截正方体：三角形、四边形、五边形、六边形.(3)平面截圆柱曲面：圆、椭圆、矩形.2.球的切接问题(1)长方体的外接球①球心：体对角线的交点；②半径：r＝(a，b，c为长方体的长、宽、高).(2)正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球①外接球：球心是正方体中心；半径r＝a(a为正方体的棱长)；②内切球：球心是正方体中心；半径r＝(a为正方体的棱长)；③与各条棱都相切的球：球心是正方体中心；半径r＝a(a为正方体的棱长).(3)正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分)①外接球：球心是正四面体的中心；半径r＝a(a为正四面体的棱长)；②内切球：球心是正四面体的中心；半径r＝a(a为正四面体的棱长).题型突破题型一立体几何中的截面问题【例1】(1)(2018·全国Ⅰ卷)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为()A.B.C.D.(2)(2020·浙江新高考仿真卷三)已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N，若该球面的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为()A.7πB.9πC.11πD.13π解析(1)记该正方体为ABCD－A′B′C′D′，正方体的每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，即共点的三条棱A′A，A′B′，A′D′与平面α所成的角都相等.如图，连接AB′，AD′，B′D′，因为三棱锥A′－AB′D′是正三棱锥，所以A′A，A′B′，A′D′与平面AB′D′所成的角都相等.分别取C′D′，B′C′，BB′，AB，AD，DD′的中点E，F，G，H，I，J，连接EF，FG，GH，IH，IJ，JE，易得E，F，G，H，I，J六点共面，平面EFGHIJ与平面AB′D′平行，即截面EFGHIJ为平面α截正方体所得最大截面.又EF＝FG＝GH＝IH＝IJ＝JE＝，所以该正六边形的面积为6××＝，所以α截此正方体所得截面面积的最大值为，故选A.(2)设球的球心为O，由圆M的面积为4π得圆M的半径为2，则|OM|＝＝2，又因为圆N所在的平面β与圆M所在的平面α所成的角为60°，则∠OMN＝30°，且ON⊥MN，则sin∠OMN＝，即sin30°＝，解得|ON|＝，则圆N的半径r＝＝，圆N的面积为πr2＝13π，故选D.答案(1)A(2)D规律方法此类题主要考查空间想象能力及空间几何体的结构特征，解题时可寻找特殊情况使问题得到简化.【训练1】(1)(2018·全国Ⅰ卷)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()A.12πB.12πC.8πD.10π(2)如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱AD，B1C1上的动点，设AE＝λ，B1F＝μ.若平面BEF与正方体的截面是五边形，则λ＋μ的取值范围是________.解析(1)因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为2，底面圆的直径为2，所以该圆柱的表面积为2×π×()2＋2π××2＝12π.故选B.(2)通过特殊位置来分析，当AE＝λ→1时(此时E与D接近重合)，若B1F＝μ→0(此时B1与F接近重合)，此时截面是四边形，随着B1F＝μ的变大，平面BEF与正方体的截面是五边形，由此知λ＋μ＞1；随着B1F＝μ→1，平面BEF与正方体的截面仍是五边形，当两者均为1时，截面是三角形，由此知λ＋μ＜2，故1＜λ＋μ＜2.答案(1)B(2)(1，2)题型二外接球问题【例2】(1)(2017·新课标全国Ⅱ)长方体的长、宽、高分别为3、2、1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为________.(2)已知底面边长为1，侧棱长的正四棱柱的各个顶点均在同一个球的球面上，则该球的体积为()A.B.4πC.2πD.(3)已知直三棱柱ABC－A1B1C1的六个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为()A.B.2C.D.3(4)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该四棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为()A.B.16πC.9πD.(5)已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，SA⊥AC，SB⊥BC，三棱锥S－ABC的体积为9，则球的表面积为________.解析(1)长方体体对角线长为＝，所以长方体外接球半径R＝，所以长方体外接球的表面积为S＝4πR2＝14...