立体几何中的翻折、轨迹及最值(范围)问题知识拓展1.翻折问题是立体几何的一类典型问题，是考查实践能力与创新能力的好素材.解答翻折问题的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体图形，并弄清折叠前后哪些发生了变化，哪些没有发生变化.解题时我们要依据这些变化的与未变化的量来分析问题和解决问题.而表面展开问题是折叠问题的逆向思维、逆向过程，一般地，涉及多面体表面的距离问题不妨将它展开成平面图形试一试.2.在立体几何中，某些点、线、面依一定的规则运动，构成各式各样的轨迹，探求空间轨迹与求平面轨迹类似，应注意几何条件，善于基本轨迹转化.对于较为复杂的轨迹，常常要分段考虑，注意特定情况下的动点的位置，然后对任意情形加以分析判定，也可转化为平面问题.对每一道轨迹命题必须特别注意轨迹的纯粹性与完备性.3.立体几何中的体积最值问题一般是指有关距离的最值、角的最值(上节)或(面积)体积的最值的问题.其一般方法有：(1)几何法：通过证明或几何作图，确定图形中取得最值的特殊位置，再计算它的值；(2)代数方法：分析给定图形中的数量关系，选取适当的自变量及目标函数，确定函数解析式，利用函数的单调性、有界性，以及不等式的均值定理等，求出最值.题型突破题型一立体几何中的翻折问题【例1】(2019·全国Ⅲ卷)图①是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图②.(1)证明：图②中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；(2)求图②中的二面角B－CG－A的大小.(1)证明由已知得AD∥BE，CG∥BE，所以AD∥CG，所以AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面.由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，且BE∩BC＝B，BE，BC⊂平面BCGE，所以AB⊥平面BCGE.又因为AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE.(2)解作EH⊥BC，垂足为H.因为EH⊂平面BCGE，平面BCGE⊥平面ABC，平面BCGE∩平面ABC＝BC，所以EH⊥平面ABC.由已知，菱形BCGE的边长为2，∠EBC＝60°，可求得BH＝1，EH＝.以H为坐标原点，HC的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系H－xyz，则A(－1，1，0)，C(1，0，0)，G(2，0，)，CG＝(1，0，)，AC＝(2，－1，0).设平面ACGD的法向量为n＝(x，y，z)，则即所以可取n＝(3，6，－).又平面BCGE的法向量可取m＝(0，1，0)，所以cos〈n，m〉＝＝.因此二面角B－CG－A的大小为30°.【训练1】(2020·浙江名师预测卷四)在梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AD＝2AB＝2BC＝2CD.将△BCD沿BD翻折至△BPD，且满足平面ABP⊥平面BPD.(1)求证：二面角P－BD－A是直二面角；(2)(一题多解)求直线PD与平面PAO所成角的正弦值的大小.(1)证明由已知条件易得∠BAD＝60°，∠BDA＝30°，AB⊥BD.在△BPD中，过点D作DH⊥BP，交BP的延长线于点H. 平面ABP⊥平面BPD，平面ABP∩平面BPD＝BP，∴DH⊥平面ABP， AB⊂平面ABP，∴DH⊥AB.又 BD∩DH＝D，∴AB⊥平面BPD， AB⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面BPD.即二面角P－BD－A是直二面角.(2)解法一过点P作PG⊥BD，交BD于点G，则G是BD的中点.由(1)可知平面PBD⊥平面ABD，又 平面PBD∩平面ABD＝BD，∴PG⊥平面ABD.设OB＝1，则OP＝1，OA＝2，AB＝BP＝， AB⊥平面BPD，∴AB⊥BP，∴AP＝＝，由余弦定理得cos∠AOP＝＝－，则sin∠AOP＝.设点D到△AOP的距离为h， VP－AOD＝VD－AOP，∴·PG·S△AOD＝·h·S△AOP， PG＝，S△AOD＝×2×2·sin＝，S△AOP＝×1×2×＝，∴h＝， PD＝，∴直线PD与平面PAO所成角θ的正弦值sinθ＝＝.法二分别取BD，AD的中点E，F，连接EP，EF，则EF∥AB.由(1)可知AB⊥平面BPD，∴EF⊥平面BPD，∴EF⊥BD，EF⊥EP. PB＝PD，∴PE⊥BD，以点E为坐标原点，EF，ED，EP的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系.设OB＝1，可得P，D，A，O.∴PD＝，PA＝，AO＝(－，1，0).设平面PAO的法向量为n＝(x，y，z)，则即令x＝1，则n＝(1，，－1)，∴直线PD与平面PAO所成角θ的正弦值为sinθ＝|cos〈n，PD〉|＝＝.题型二立体几何中的轨迹问题【例2】(1)已知在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AA1与平面A1B1C1D1垂直，且AD＝AB，E为CC1的中点，P在对角面BB1...
